BIBLIOTHÈQUE DE LÉCOLE MODERNE   L'ENSEIGNEMENT DU CALCUL  par un groupe d'éducateurs de l'Ecole Moderne sous la direction de C. FREINET et M. BEAUGRAND. ÉDITIONS DE L'ÉCOLE MODERNE FRANÇAISE – CANNES Dépôt légal 1962

NB : pour ne pas alourdir le documents, les graphiques n’ont pas été inclus, ils sont disponibles sur le site.

télécharger le texte (RTF compressé)

TABLE DES MATIÈRES  L'ENSEIGNEMENT DU CALCUL I - échec de l'enseignement des mathématiques de l'Ecole Maternelle aux classes préparatoires aux grandes écoles II - Le décalage de l'Ecole par rapport au milieu technique de notre époque III - Mécanismes et intelligence IV - Le calcul vivant V - L'intuition VI - L'analyse VII - La généralisation VIII - Les acquisitions mathématiques sont-elles toujours mesurables ? IX - L'abstraction X - Une progression rationnelle est-elle indispensable ? XI - Les acquisitions techniques XII - La théorie des Ensembles XIII - Vers un exaltant infini XIV - Y a-t-il un don mathématique ? PARTIR NON PLUS DES MANUELS MAIS DE LA VIE A LÉCOLE MATERNELLE DE MARRER FRANCHEMENT VIVIFIER LE CALCUL (échanges interscolaires) FAVORISER LA CRÉATION La libre recherche en géométrie VERS LA CULTURE MATHÉMATIQUE La théorie des Ensembles INTRODUIRE DES CADRES SOUPLES DE TRAVAIL :     Les Brevets     Les Fiches-guides Les Fiches-guides Complexes de Calcul

 

 

L'ENSEIGNEMENT DU CALCUL

 

Le calcul, comme les sciences, est plus que jamais à l'ordre du jour.

 

Il l'est d'une part du fait de l'échec incontestable de l'enseignement mathématique tel qu'il est donné jusqu'à ce jour.

 

Et il l'est aussi parce que cet enseignement n'a pas pu suivre le rythme accéléré des progrès techniques, qu'il est désaxé et dépassé pour n'avoir pas su en temps voulu, opérer les modifications de méthodes qui s'imposaient.

 

I. - ÉCHEC DE LENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES DE LÉCOLE MATERNELLE AUX CLASSES PRÉPARATOIRES AUX GRANDES ÉCOLES.

 

Nous empruntons les observations qui suivent à un mémoire rédigé par M. Ph. Rogerie.

 

« Au premier Congrès de la psychologie scolaire tenu à Sèvres en décembre 1949, administrateurs, professeurs et psychologues réunis adoptèrent comme thème de recherches la psycho-pédagogie des mathématiques.

 

Ce choix fut plus ou moins constamment déterminé par deux faits.

 

C'est, tout d'abord, l'importance de l'apprentissage des mathématiques, importance due à la matière enseignée elle-même. De l'école maternelle aux classes préparatoires aux grandes ,écoles les élèves se trouvent soumis à un entraînement, à une formation ayant pour but de leur inculquer le maniement et l'essence des mathématiques. Instrument de pensée permettant d'appréhender et de comprendre le réel sous l'aspect quantitatif en même temps que de communiquer cette connaissance à autrui, les mathématiques constituent aussi bien que la langue maternelle, moyen d'analyse et de communication qualitatif, un enseignement de base.

 

Malheureusement, on constate dans cet enseignement de nombreux et graves échecs.

 

Beaucoup d'élèves restent absolument imperméables à cet enseignement, n'en tirant aucun profit, n'en conservant qu'un mauvais souvenir et un mépris définitif à l'égard de tout ce qui est chiffré, mesuré, raisonné. Les conséquences de ces échecs sont graves; les mathématiques, en effet, ont pris une place de plus en plus grande dans la civilisation et la culture contemporaines; de plus, les ignorer, c'est se priver d'habitudes de pensée, de procédés de compréhension et de raisonnement infiniment précieux ».

 

Nous nous trouvons donc en présence de la constatation par des personnes autorisées d'un grave échec de l'enseignement des mathématiques au 1^er et au 2^e degré.

 

Chez beaucoup d'élèves apparaît un trouble du comportement affectif qui se traduit par un mépris définitif pour tout ce qui est chiffré, mesuré, raisonné. Ce trouble finit par s'accompagner du blocage de toute activité scientifique. Il mériterait une analyse minutieuse afin de mettre en évidence les facteurs de sa naissance et de son développement. Néanmoins, dans les limites de ce rapport, je m'en abstiendrai pour me contenter de signaler qu'il se développe progressivement dès l'entrée des enfants au cours préparatoire.

 

Sans doute, il n'atteint pas dès l'Ecole primaire l'acuité sous laquelle il se présente dès la classe de 3^e, cependant on peut en observer des prodromes nettement accusés chez certains élèves dès qu'ils entrent au cours moyen et même dès la 2^e année du cours élémentaire. Ces prodromes se manifestent à ce moment surtout dans l'ordre intellectuel avant de déborder dans le champ de l'affectivité.

 

Beaucoup d'élèves ayant acquis la technique des 4 opérations ne savent pas les utiliser. Ils ne sont pas mis en possession d'une méthode à leur portée, leur permettant de trouver facilement la nature et la suite des opérations qui donnent la solution numérique des problèmes qui leur sont posés, dès que ces problèmes portent sur des événements nouveaux ou même lorsqu'ils sont énoncés en termes inaccoutumés. Au surplus, la structure mentale qui a été conférée aux élèves par l'Ecole traditionnelle, s'oppose à ce qu'ils aient recours aux tâtonnements (expériences tâtonnées, calculs de tâtonnements) qui pourraient les amener au but cherché.

 

Les réflexes dont ils sont dotés ne leur ouvrent pas de voie capable de les mener au succès. Enfermés dans des constructions verbales coupées des réalités sensibles, ils tendent à chercher exclusivement la nature des opérations à faire, dans les textes des problèmes. C'est ce qui explique qu'en usant habilement des termes « reste » et « non plus », on parvient à leur faire poser une soustraction là où il fallait une addition et vice-versa.

 

Quant à la détermination de la suite des opérations à effectuer, l'Ecole traditionnelle ne donne également aucun moyen pratique pour la grande majorité des enfants. Certains pédagogues préconisent les méthodes progressives ou régressives. Toutes les deux sont basées sur la connaissance préalable des relations numériques qui constituent le but à atteindre et non un point de départ.

 

Il est facile de s'en rendre compte en posant aux élèves, des problèmes dont les solutions reposent sur des relations inconnues d'eux comme ceux par exemple où il faut fragmenter un ensemble connu d'objets, de choses ou d'étalons de mesure en deux ou plus de deux parts inégales entre lesquelles existent des relations données (différences ou rapport connu). Dans ce cas, et dans tous les cas analogues, les méthodes progressives et régressives s'avèrent complètement inefficaces. Le fait est bien connu et on a dû avoir recours aux graphiques qui traduisent en figures géométriques linéaires simples les relations données dans les énoncés des problèmes en langage courant.

 

En fait, les élèves, dans leurs recherches de cette suite d'opérations, se basent encore sur les textes des énoncés.

 

Aussi, en donnant à ces énoncés des formes inaccoutumées, on les met dans le plus grand embarras.

 

Ajoutons que même si l'on parvenait, auprès de tous les élèves, à leur faire déduire d'emblée de l'énoncé des problèmes, la suite et la nature des opérations arithmétiques à effectuer, c'est-à-dire, à tirer, de prime abord de ces énoncés, les formules numériques donnant les solutions, il faudrait rechercher une autre manière de faire ; car, munis de cette méthode verbale, les élèves resteraient impuissants devant les problèmes, nécessairement sans énoncés, posés par les circonstances inconnues des faits de la vie.

 

L'échec subi par l'Ecole traditionnelle en ce qui concerne la question de la suite et de la nature des opérations nécessitées pour la solution numérique des problèmes, est reconnu par certains centres d'examens pour le moins, où l'on évite l'insuccès des élèves en posant des questions intermédiaires qui précisent le point de départ, et jalonnent la route d'accès à la question finale ».

 

Ph. Rogerie

 

II. - LE DÉCALAGE DE L'ÉCOLE PAR RAPPORT AU MILIEU TECHNIQUE DE NOTRE ÉPOQUE.

 

Il est catastrophique.

 

Il y a cinquante ans à peine, on pouvait vivre très normalement sa vie sans qu'intervienne, sauf à de très rares circonstances, la manie calculatrice qui a aujourd'hui envahi le monde.

 

C'était le temps où la montre n'était pas encore un outil indispensable, pas plus que la connaissance élémentaire des éléments du calcul : le chronomètre n'était encore qu'un outil de laboratoire ; les services publics qui nécessitent rétribution ou paiement de tickets n'étaient encore embryonnaires ; le troc restait d'un usage courant pour l'acquisition de certains produits de première nécessité. L'espace et le temps avaient encore une dimension humaine que les I.B.M. ont aujourd'hui domestiquée et annihilée.

 

C'était l'époque paisible où les gens comptaient encore, comme à l'Ecole, avec des barres ou des cailloux. J'ai encore vu au début du siècle, les joueurs de boules marquer les points en entaillant une baguette, tout comme le faisaient les boulangers avec leurs clients. Rares étaient les adultes qui savaient faire multiplications et divisions, opérations qu'ils effectuaient d'ailleurs lorsqu'ils en avaient besoin, par des procédés ancestraux à base d'addition ou de partage, curieusement semblables parfois à certaines techniques des calculatrices électroniques.

 

Or, depuis, et plus particulièrement au cours des dix dernières années, une véritable révolution s'est produite qui change totalement les données des problèmes qui nous sont posés et dont la solution rend urgente la modernisation de cet enseignement, objet de la présente étude.

 

Les nombres et les calculs sont désormais partout, à chaque heure de notre journée, à chacun de nos gestes sociaux : de la flûte de pain qu'on achète, du chewing-gum au journal illustré jusqu'au prix de l'essence et des tickets d'autobus, à l'achat des livres, au chronométrage des exploits sportifs, au minutage des stations radio et télévision, le nombre nous domine et il serait vain de penser que nous pourrons encore nous dégager de son emprise.

 

Savoir estimer et calculer, comparer fiches et nombres vérifier des comptes et opérer des paiements deviennent de ce fait une inéluctable nécessité au même titre qu'apprendre à lire et à écrire. Mieux encore : avec la radio et la télévision avec les journaux et les livres qu'envahit l'image, un e peut fort bien s'adapter à son milieu même s'il ne sait pas s'exprimer oralement ou par écrit. Il sera un infirme s'il ne sait ni compter, ni calculer.

 

III. - MÉCANISMES ET INTELLIGENCE.

 

Dissipons d'abord un grave malentendu, hélas ! presque universel.

 

Il y a compter et compter comme il y a lire et lire.

 

Nous n'appelons pas lire le fait de déchiffrer, c'est-à- dire de reproduire un son correspondant au signe indiqué Il s'agit là d'un vulgaire conditionnement, qui réussit ave certains animaux et qui peut avoir ses avantages technique et sociaux, mais qui n'est pas lui-même un élément de culture et de progrès, qui peut être au contraire à l'origine d'un avilissement et d'un abêtissement de l'individu.

 

Lire, c'est d'abord comprendre la signification des signes écrits, quels que soient les processus de la reconnaissance. Il y a des enfants qui parviennent à une lecture à peu près parfaite sans avoir cependant dominé tous les mécanismes des éléments syllabiques. Mais l'inverse n'est pas vrai l'acquisition mécanique est insuffisante s'il n'y a pas compréhension intelligente.

 

Il en est exactement de même pour le calcul. L'enfant peut déchiffrer, c'est-à-dire traduire les signes ou compter automatiquement. Il ne saura pas calculer s'il n'y a pas compréhension intelligente de la notion calcul.

 

Contrairement à ce que prétendent parfois certains théoriciens, l'acquisition des mécanismes ne prédispose nullement à la maîtrise calculatrice ; elle contribuerait plutôt à la détériorer et à la paralyser. La culture mathématique au contraire prédispose à l'apprentissage des techniques dont elle fait sentir la nécessité.

 

Dans ce domaine comme dans beaucoup d'autres sans doute, on ne monte pas des mécanismes à la culture ; on descend de la culture aux mécanismes. La reconnaissance de ces circuits est un élément majeur de notre nouvelle pédagogie.

 

Autrement dit, partir de l'apprentissage des mécanismes est une grave erreur de méthode dont l'échec mentionné plus haut n'est que la juste sanction.

 

Un autre argument en faveur de la priorité de la culture c'est que les machines peuvent ou pourront faire l'économie de, l'apprentissage technique, elles ne remplaceront pas l'intelligence ou la compréhension subtile qui sont à la base de la culture mathématique.

 

On nous avait fait croire que connaître la table de multiplication, savoir résoudre les quatre opérations ou les problèmes élémentaires c'était le b a ba de l'enseignement du calcul. Que deviendra l'Ecole, à quelle méthode aura-t-elle recours si, un jour prochain des machines à calculer individuelles rendent inutiles la table de multiplication ou la pratique des opérations ? Et la chose est fort possible. Elle est en train de se réaliser sous nos yeux : les balances sont déjà automatiques ; l'essence se paie au compteur ; les relevés du gaz et de l'électricité sont établis par cartes perforées et demain - cela se fait déjà dans diverses entreprises, - les relevés de salaires seront établis électroniquement. Il suffira bientôt de savoir, comme les singes, encaisser et rendre la monnaie,

 

Les ingénieurs sur le terrain sortent de leur poche une petite machine qui leur évite les calculs complexes qu'ils avaient eu tant de mal à apprendre ; et le mathématicien fait faire ses comptes par les I.B.M.

 

L'acquisition des mécanismes n'est qu'un accident dans la compréhension intelligente du calcul. Ce qui importe, et ce qu'il faudra donc cultiver en premier lieu, c'est le sens mathématique, résultat d'un long apprentissage à base de tâtonnement expérimental et de vie.

 

Il résulte de cette constatation qu'il nous faut renverser radicalement les facteurs de la culture mathématique.

 

L'apprentissage mécanique, qui remplit encore les manuels scolaires et qui fait l'objet presque exclusif des leçons scolastiques n'est que secondaire et ira s'amenuisant au fur et à mesure que se développe la technique des machines à calculer ; tout comme s'amenuise jusqu'à disparaître un jour prochain l'apprentissage du pédalage dépassé par l'envahissement des vélomoteurs.

 

Je sais bien que, en attendant, il sera nécessaire d'apprendre le pédalage avec le moins de peine possible, comme il sera nécessaire d'apprendre les mécaniques et nous nous en préoccupons. Nous avons même la prétention d'affirmer qu'avec nos méthodes naturelles cet apprentissage se fait, sinon aussi vite, du moins avec une profondeur et une sûreté qui lui donnent une valeur supérieure.

 

C'est parce que nous savons que nous touchons là à une question de bon sens mais qui, comme la plupart des questions de bon sens, est trop simple pour être admise par ceux qui se piquent de culture que nous revenons encore sur notre démonstration.

 

Il y a trente ans, nous avions besoin de connaître les pièces de notre moteur automobile, et nous avions avec nous des guides techniques pour réparer les pannes, même s'ils ne nous étaient pas souvent d'un grand secours. En ai-je démonté des carburateurs dont les gicleurs étaient bouchés, des delcos et des condensateurs grillés, et des pneus ! Je ne connais plus rien aujourd'hui de cette science de dépanneur et les titulaires récents de permis de conduire en savent moins encore que moi.

 

Ces connaissances, naguère élémentaires et indispensables sont devenues inutiles puisqu'il n'y a pratiquement plus de panne et que, s'il y en a une, on a plus vite fait d'avoir recours au mécanicien voisin ou à Police-Secours.

 

Cette évolution est très caractéristique dans les bureaux de comptabilité.

 

La qualité première d'un comptable était il y a dix ans à peine, qu'il sache compter vite et juste, en jonglant avec les nombres et les signes, On ne demande plus aujourd'hui au comptable s'il sait faire rapidement une opération sûre mais s'il manie avec dextérité sa machine à calculer et s'il a une vision et une compréhension méthodique des problèmes posés par les opérations intervenues.

 

Et il y a aussi cette autre question de bon sens qui devrait être décisive si les adultes étaient encore sensibles à l'expérience.

 

On dit en médecine que les acides chassent le calcium.

 

On peut dire également pour le calcul que la mécanique chasse la compréhension intelligente.

 

Le nombre, servi par l'automatisme procure aux enfants une réussite relativement facile, et qui fait illusion. Les parents ne s'inquiètent jamais auprès de leur enfant : « As-tu compris ? Sais-tu exercer ton intelligence pour te tirer d'affaire dans telle situation de la vie ?... », mais : « Sais-tu compter jusqu'à 50 ou 100 ? As-tu retenu ta table de multiplication ? Sais-tu faire les soustractions ? ». Je m'informais auprès d'une fillette de cinq ans et demi qui venait de quitter notre école si elle savait calculer et faire les opérations. Elle me répond : « Non pas encore, nous sommes au nombre 29 ».

 

Évidemment, l'enfant qui est victime d'une telle conception de calcul se persuade de ce fait que l'élément majeur de cette discipline c'est la manipulation des nombres. Comment n'en serait-il pas persuadé alors que les parents, par tradition n'ont pas d'autre perspective et que l'instituteur consacre aux nombres la presque totalité de son temps. Et les examens ne consacrent-ils pas avant tout cette « science » ? Pourquoi les uns et les autres modifieraient-ils leurs pratiques au profit d'un enseignement délicat dont on ne peut jamais mesurer le rendement et qui ne vous apporte aucune immédiate certitude.

 

Le résultat en est que les enfants sauront peut-être compter parfaitement, faire les opérations, résoudre mécaniquement certains problèmes, mais sans qu'ils fassent la moindre liaison entre ces acquisitions et la notion individuelle et sociale du calcul. Un divorce s'établira qui risque d'être définitif. Les enfants ne retrouveront plus le sens arithmétique. Ils en seront comme infirmes.

 

Qu'on ne se méprenne pas : nous ne prétendons nullement que le calcul mécanique soit sans importance. Il est l'expression du sens arithmétique, comme les notes sont l'expression écrite du sens musical. Mais le calcul mécanique fonctionnera à vide ou à contresens s'il n'est pas mû et motivé par la conception vivante et intelligente qui sera notre base de départ et sans laquelle il ne saurait y avoir de culture arithmétique.

 

*

 

Le problème se trouve dès lors logiquement posé et notre souci pédagogique précisé :

 

1° - Si, pour les raisons, à notre avis majeures, que nous avons données, l'essentiel dans l'enseignement du calcul doit être avant tout la culture du sens mathématique à même la vie, nous devrons étudier expérimentalement comment, par quelle méthode, sur la base de quelles techniques, nous devons aborder et conduire cet enseignement.

 

Il s'agit d'un aspect tout nouveau du problème, dont on s'est fort peu préoccupé jusqu'à ce jour puisque l'accent était mis en permanence sur les acquisitions mécaniques. Le mouvement de l'Ecole Moderne est peut-être le seul à pouvoir présenter, avec les résultats éprouvés d'une longue expérience, une méthode naturelle de calcul efficiente.

 

2° - Nous n'aborderons qu'ensuite le problème à notre avis secondaire de ces acquisitions mécaniques. Nous n'avons rien de spécial ni d'original à apporter, sauf que nos enfants sensibilisés et activés par la culture mathématique que nous avons abordée auront le souci, le désir, le besoin de dominer bien vite ces mécanismes pour aller de l'avant.

 

Une méthode, même insuffisante, devient bonne, et même excellente quand les enfants l'abordent avec dynamisme et élan.

 

Vous trouverez dans les centaines de livres et de manuels se rapportant à cet enseignement une variété suffisante techniques et de procédés auxquels vous pourrez vous référer. Nous dirons simplement dans un prochain chapitre comment les fichiers auto-correctifs facilitent les acquisitions qui, dans les données actuelles de l'Ecole restent indispensables.

 

IV. - LE CALCUL VIVANT.

 

Le mot a fait fortune comme se sont imposées déjà à la pédagogie les notions de texte libre, de journal scolaire de correspondance, de plans de travail, de conférences, de dessin libre que nous avons mises à l'honneur.

 

Nous introduisons de ce fait une donnée nouvelle – un levain - dans le circuit de la vieille pédagogie. Nous voulons, nous, que ce levain y joue pleinement son rôle pour faire lever la pâte.

 

Mais il est des pédagogues qui, sans contester les vertus de ce recours à la vie, voudraient bien n'y faire appel que comme à un timide adjuvant, comme à un complément nouveau à l'ancienne pédagogie.

 

C'est ainsi que M. Ischer, directeur des Etudes Pédagogiques à l'Ecole Normale de Neuchâtel, en Suisse nous écrivait :

 

« On n'apprend pas l'arithmétique par les problèmes de vie mais dès qu'une notion est assurée, on l'exerce et on la répète par des problèmes de vie ».

 

1

 

M. Ischer considère donc ici l'acquisition des mécanismes qui n'ont que faire en effet des problèmes de vie. Mais quelles sont ces notions assurées ou à assurer ? Et n'est-ce pas d'abord le milieu ambiant qui doit nous fournir les éléments de calcul, et donc poser les vrais problèmes, porteurs des seules notions qui méritent d'être étudiées ? Hors de cette expérience vivante, il n'y a que mécanismes et conditionnements et nous en avons dit les dangers.

 

C'est toujours le même différend dont nous avons déjà débattu dans notre brochure sur l'enseignement des sciences (B.E.M. n° 11 - 12). Il y a deux tendances :

 

- La scolastique qui présente aux enfants des règles, des principes et des lois qui sont comme préétablis, sûrs et définitifs et qu'on doit admettre en tous cas comme les dogmes que l'Eglise place à l'origine de toute foi.

 

Tout ce qu'on peut dire, c'est que le procédé n'est nullement scientifique mais plutôt dogmatique et que nous nous méfions du dogme, ne serait-ce que pour la déplorable habitude de servitude qu'il imprime aux esprits.

 

Les scolastiques disent donc, en sciences comme en calcul : voici les lois à admettre et à apprendre ; nous allons maintenant pourvoir aux exercices et aux expériences qui vous permettront d'en saisir la portée.

 

La sanction de cette erreur est immédiate : les enfants ne se plient que de très mauvaise grâce à ces obligations ; ils n'entrent qu'à regret dans cette maison qui n'est pas la leur puisque c'est vous qui en avez choisi l'emplacement et monté les murs.

 

C'est comme si vous disiez à votre enfant enthousiaste devant le bout de champ qui lui est échu : « Voici ton jardin. Je vais le bêcher, y planter pommes de terre et salades car tu ne saurais pas le faire selon les règles ; tu les soigneras et les arroseras pour les faire pousser ». On ôte à l'enfant ce qui justement le passionne comme étant à l'origine de la création et de la vie.

 

- La méthode naturelle rétablit les processus normaux. Aucune règle imposée d'avance, mais observations et expériences à même la vie, problèmes posés dont nous chercherons ensemble les solutions et qui, à travers l'inquiétude salutaire susciteront la recherche des principes et des lois.

 

Nous savons que, pour convaincre les scolastiques au bien fondé de telles pratiques, il nous faudra d'abord leur faire admettre la supériorité des processus de tâtonnement expérimental sur une pseudo, science qui autorise, prépare et entretient des techniques scolaires abêtissantes et mortes. C'est une question que nous continuerons à étudier dans notre revue Techniques de Vie, au cours de nos colloques et de nos Congrès.

 

Les pratiques sont suffisamment connues ; elles s'étalent dans des milliers de manuels scolaires ; elles nous ont endormis et égarés. La démonstration est suffisante. Il nous faut chercher mieux.

 

Nous montrerons, dans la deuxième partie de cette étude, le cheminement et les techniques de la méthode naturelle de calcul. C'est par l'expérience pratique que nous mesurerons la valeur des théories.

 

V. - L'INTUITION.

 

D'une précédente publication de l'Ecole Moderne, nous extrayons cette excellente présentation par M.Beaugrand, de quelques principes de la méthode naturelle de calcul :

 

« La pensée n'acquiert sa valeur que par sa lutte avec le réel ».

 

Quels buts visons-- avec notre méthode de calcul ?

 

Quand sommes-nous satisfaits ?

 

Il nous semble que nous avons atteint notre but quand, face aux problèmes, dans la majorité des cas, la majorité de nos élèves donnent une réponse aussi rapide que sûre, comme si leur esprit était tout à coup illuminé d'une lueur fulgurante.

 

C'est ce que nous appelons l'intuition mathématique.

 

Qu'est-ce que l'intuition mathématique ?

 

Est-ce essentiellement un phénomène mystérieux qui se situe en dehors de la nature ?

 

Ou bien au contraire est-elle le couronnement du travail de chacun et aussi des générations précédentes ?

 

Dans ce cas, comment la cultiver ?

 

Quelle est la part du maître ?

 

Quelle est la part de l'élève ?

 

Si l'intuition mathématique -l'intuition en général - présente des caractères mystérieux, elle n'en est pas moins, nous disent les psychologues, et l'expérience semble nous le prouver, le résultat de tout travail conscient et inconscient.

 

« Si l'on trouve sans chercher, c'est qu'on avait cherché sans trouver ».

 

« Le travail inconscient, écrit Poincaré, n'est possible et, en tous cas, n'est fécond que s'il est d'une part précédé et d'autre part suivi d'une période de travail conscient ». Ces inspirations subites - et les exemples que j'ai cités le prouvent suffisamment - ne se produisent qu'après quelques jours d'efforts volontaires qui ont paru absolument infructueux et où l'on a cru ne rien faire de bon, où il semble qu'on a fait totalement fausse route.

 

Il me semble que nous, instituteurs, nous avons trop tendance à attendre du travail conscient des résultats immédiats et à ne pas miser suffisamment sur le travail inconscient. Les témoignages des grands mathématiciens prouvent que les éclairs d'intuition se font souvent longtemps après les recherches conscientes, alors qu'ils sont parfois découragés par leur insuccès. C'est que, entre ce travail conscient et l'éclair d'intuition, il s'est produit dans leur esprit un lent travail de décantation et de maturation.

 

Mais il semble bien que ce travail inconscient, davantage que le travail conscient, ne peut se faire sans une adhésion de l'individu, avec renouvellement de cette adhésion aux moments où la recherche quitte pendant quelques temps l'inconscient pour le conscient.

 

Comment donc obtenir de l'enfant une participation, sinon totale du moins partielle, à ce travail de recherche ?

 

- En libérant son esprit des soucis et de la peur des notes, compositions, classements, de la peur du maître et des camarades.

 

- En lui faisant sentir plutôt qu'en lui expliquant que ce travail est indispensable parce qu'il nous arme dans la lutte pour la vie. Le calcul tel que nous le concevons, qui consiste à résoudre les problèmes que nous posent notre milieu et le monde en général, y concourt autrement bien sûr, que les problèmes des manuels.

 

- En lui faisant sentir que cette recherche est exaltante, qu'elle satisfait le besoin de dépassement qui est, plus ou moins apparent, en chacun de nous.

 

C'est donc un climat qu'il faut créer dans la classe, comme nous avons créé un climat d'expression libre.

 

Si le maître sait se décontracter, s'il est, sans l'afficher, un exemple de dépassement, s'il sait utiliser l'enthousiasme de ses élèves les plus doués, la majorité de la classe sera vite gagnée.

 

Mais il est indispensable que notre école soit, là comme ailleurs, l'école de la réussite et non l'école de l'échec, Pour que chaque enfant fasse son chemin, il faut d'abord l'aider à trouver les pistes qui lui conviennent.

 

Aussi évitons-nous les longues analyses systématiques qui imposent à tous la même piste et attachons-nous une grande importance à l'abondance et à la variété des histoires chiffrées et des brevets.

 

VI. - L'ANALYSE.

 

Entendons-nous bien : nous ne rejetons pas les analyses un peu poussées qui sont les réponses aux « pourquoi » et aux « comment » sans lesquels il n'y a pas de véritable formation de l'esprit.

 

Les films au ralenti nous permettent de mieux saisir le saut d'un cheval ou la foulée d'un coureur. De même, les analyses méthodiques des problèmes mettent en lumière la démarche de la pensée et par là aident les techniques. C'est indispensable. Mais ne soyons pas ces cinéastes qui abuseraient des films au ralenti dans leurs programmes.

 

Il va sans dire que nous nous élevons contre l'analyse par leçons dogmatiques du maître qui aboutissent à des raisonnements types que tous les élèves doivent obligatoirement employer.

 

Nous nous étions rabattus, faute de mieux, sur le dialogue maître-élèves, le maître interrogeant, les élèves répondant. Freinet a longuement montré, au cours de ses ouvrages, combien cette méthode est nuisible au développement mental de l'enfant. En face d'un adulte qui donne l'impression de tendre des pièges, l'enfant se sent diminué, quelquefois humilié et, souvent il perd ses moyens.

 

C'est notre ami Bersol qui, le premier, a eu l'idée d'une méthode vraiment dans l'esprit de l'Ecole Moderne. Avec ses petits du Cours Préparatoire, il applique la méthode des exposés que nous utilisions dans les autres enseignements mais que nous n'avions pas l'idée d'appliquer au calcul. En face d'un problème, les élèves réfléchissent, puis les volontaires viennent tour à tour au tableau, craie en main, exposer leurs procédés de résolution. Questions des autres. Critiques.

 

Ainsi, jour après jour, tout naturellement, le maître suit la formation de l'esprit chez ses élèves.

 

Et c'est une joie pour les enfants que de rechercher et d'offrir à leurs camarades tout un éventail de techniques parmi lesquelles chacun peut choisir, ce qui facilite ses tâtonnements, lui permet d'acquérir un style personnel.

 

Ainsi nos élèves entrent dans le domaine de l'invention mathématique.

 

Notre processus est le même que celui des adultes en face d'un problème scientifique ou mathématique :

 

1° - Recherches personnelles caractérisées par un souci d'économie et d'originalité.

 

2° - Travail collectif de confrontation des différentes solutions avec exposés, critiques et choix.

 

3° - Amélioration de la solution choisie :

- par le travail personnel d'abord,

- par le travail collectif ensuite.

 

4° - Généralisation.

 

VII. - LA GÉNÉRALISATION.

 

Nous insistons : éviter les généralisations hâtives et systématiques.

 

En calcul comme en lecture, comme en sciences, faire des rapprochements et des analogies tant que l'enfant n'a pas effectué un nombre suffisant d'expériences, c'est aller à rebours de la formation de l'esprit.

 

Résolvons donc beaucoup de problèmes vivants, observons les démarches de la pensée chez nos élèves. Et ne soyons pas pressés. Le souci d'économie amènera vite les plus doués à classer les faits mathématiques, à essayer de dégager des lois. Le maître aidant, les autres prendront aussi le chemin des principes et des formules.

 

Nous ferons alors par exemple des séances de synthèse au cours desquelles nous rechercherons, dans la multitude de nos histoires chiffrées, celles qui renferment la même notion, nous efforçant de dégager ce qu'elles ont de général et de particulier.

 

Nous verrons que les brevets provoquent tout naturellement ces séances de synthèses indispensables.

 

Plus de ces conditionnements comme nous en voyons encore : chaque fois que tu vois « de plus » tu additionnes, chaque fois que tu vois « de moins » tu soustrais... Plus de formules apprises par cœur.

 

Avec des élèves à l'esprit ouvert, elles viendront en leur temps, et alors elles se graveront dans la mémoire.

 

Nous allons essayer de donner quelques exemples

 

Dans notre classe, des enfants de 8-9 ans, formés suivant notre méthode de calcul, se trouvaient pour la première fois en présence d'un champ en forme de trapèze. Ils ne connaissaient pas la formule du trapèze. Ils n'ont pas eu recours au manuel. Ils se sont débrouillés, transformant le trapèze en rectangle. Il a été facile, après plusieurs cas semblables, de leur faire trouver la formule.

 

Tout dernièrement, j'ai eu la surprise de voir ces mêmes enfants, âgés maintenant de 11-12 ans, découvrir seuls la fameuse règle de fausse supposition.

 

La part du maître prend parfois un aspect bien particulier. Un jour, dans je ne sais plus quel problème pratique, ils avaient à calculer un angle dans un triangle dont ils connaissaient déjà les deux autres angles. Je les arrête :

 

- Ne cherchez pas, c'est... tant.

 

Ils mesurent. C'est exact.

 

- Comment qu'vous faites ?

 

- Tracez un autre triangle... etc...

 

Je leur explique que la somme des trois angles d’un triangle est toujours de 180°. Ça leur paraissait bizarre.

 

- Et si on fait deux tout petits angles

 

- Et si on en fait un tout tout grand ?

 

Ils sont restés longtemps après l'heure, traçant sur les tableaux les triangles les plus invraisemblables, mesurant les angles, car ils voulaient à tout prix trouver des exceptions pour faire crouler la règle. Ils se sont finalement inclinés, sportivement. Inutile de dire qu'ils se rappellent et se rappelleront toute leur vie, on ne le leur demande pourtant pas, que la somme des trois angles d'un triangle est 180°.

 

Qu'on ne nous fasse surtout pas dire que nous voulons tout faire passer par la redécouverte. Quand l'enfant généralise spontanément, nous ne le freinons pas, bien au contraire.

 

Et vers douze ans, alors que les Instructions nous demandent d'aborder les problèmes concrètement, nous allons plutôt au contraire vers l'abstraction parce qu'à ce moment-là l'esprit de l'enfant est mûr pour cela. Et il nous arrive de temps en temps, avec nos meilleurs élèves d'avoir recours à l'algèbre pour résoudre des problèmes difficiles, ce qui les enthousiasme.

 

M. Beaugrand

 

 

VIII. - LES ACQUISITIONS MATHÉMATIQUES SONT-ELLES TOUJOURS MESURABLES ?

 

Un scolastique qui se dit matérialiste nous écrit :

 

« N'est scientifique que ce qui est mesurable ».

 

Nous dirons ailleurs l'erreur d'une pareille conception. Ce que nous pouvons affirmer aujourd'hui c'est que cette prétentieuse manie de la mesure compromet à tous les degrés, et pour toutes les disciplines, le déroulement normal de nos efforts éducatifs.

 

Les mécanismes se mesurent. Cette mesure est beaucoup plus difficile, souvent impossible quand nous parlons compréhension, réflexion, invention et création, toutes vertus qui donnent à l'esprit une envolée que ne suscitent jamais les exercices formels de l'Ecole.

 

Dans une école où la mesure est reine, on n'en a pas moins tendance à considérer qu'est sans valeur tout ce qui ne peut pas être matérialisé sur un cahier, assorti d'une note ou d'un diplôme. Si on ne peut mesurer les progrès subtils en mathématiques, qui pourra nous assurer qu'ils existent, que donc maîtres et élèves ont travaillé comme ils le doivent et que surveillance, contrôle et examens ont dûment fonctionné conformément aux règlements.

 

Certes, pour que la conception mathématique que nous préconisons puisse se généraliser, il faudra renouveler le sens même et l'esprit de notre éducation, trouver d'abord, pour maîtres et élèves un travail nouveau qui les enthousiasme et qui nous procure donc de ce fait l'assurance que les uns et les autres donneront leur maximum sans surveillance soupçonneuse.

 

Il faudra reconsidérer totalement les examens à tous les degrés car, évidemment, tant qu'ils contrôleront seulement des acquisitions formelles et des mécanismes sans référence à l'éveil de l'esprit, à la mobilisation de l'intelligence, à la subtilité d'une culture, l'Ecole en sera réduite à contrôler ce qui se mesure, et l'Inspecteur assurer à son tour ce qui est demandé par les examens.

 

Il y a l'esprit à changer mais aussi d'abord les techniques. Si les psychologues - en collaboration avec les enseignants combinaient leurs études ou leurs travaux pour mettre sur pied un matériel nouveau d'examen à tous les degrés avec tests, travaux effectifs, épreuves d'intelligence et de culture, ils aideraient à modifier du même coup les techniques de travail et de contrôle dans les classes. On ne ferait plus passer alors l'accessoire avant l'essentiel.

 

L'erreur est peut-être plus manifeste encore pour le calcul que pour les autres disciplines à cause de l'antithèse technique qui a cours entre les mécanismes qui est conditionnement et l'esprit qui est culture.

 

Nul en effet ne connaît encore, expérimentalement et scientifiquement, les processus du calcul mathématique, et nous en parlerons nous-mêmes selon notre expérience et notre intuition plus que par des références sûres à des travaux qui, à notre connaissance, n'ont pas encore été amorcés.

 

On croit à l'Ecole que l'enfant avance mètre après mètre, comme le géomètre qui mesure le terrain. On l'accusera de perdre son temps ou même de tricher si, dédaignant les chemins depuis longtemps tracés et obligatoires, il franchit d'un saut les murs qui contournent les sentiers et s'il s'engage à une allure folle dans les raccourcis jugés inaccessibles.

 

Nous en revenons toujours à l'histoire de la bicyclette.

 

La scolastique enseigne que l'on ne saurait enfourcher le vélo avant d'avoir acquis méthodiquement et scientifiquement la maîtrise des éléments qui, selon les professeurs, autorisent cette sûre marche à vélo. Il faut évidemment, selon eux, savoir pédaler, et pour cela procéder à de multiples exercices qui sont d'autant plus profitables, prétendent-ils, qu'ils sont ennuyeux et morts. Pour la rectitude des exercices on procèdera, comme cela se doit, avec un vélo sur cale qui obéisse, sans influence extérieure, aux règles scolastiques. Après quoi on enseignera par leçons théoriques habilement étudiées les principes fondamentaux de l'équilibre et des gestes qui assureront une direction sans faille.

 

Alors seulement le professeur autorisera son élève à enfourcher un vélo véritable, et il aura la satisfaction de voir l'apprenti partir avec une assurance plus que scientifique, ce qui est, pensera-t-il, le résultat tangible de l'excellence de sa méthode. Si nous osons lui dire que jamais un enfant ne parviendra à rouler à vélo avec une telle méthode, il invoquera l'expérience concluante.

 

Illusion aveugle du scoliastre qui ne veut rien voir hors des quatre murs de sa classe. Car, qu'y aurait-il vu ?

 

Après la leçon magistrale écoutée d'une oreille distraite, et répétée du bout des lèvres, après un exercice inutile, l'enfant, a retrouvé la vie. Sur le bord du trottoir la bicyclette d'un camarade attendait. L'enfant l'a enfourchée et a commencé son apprentissage comme commencent tous les apprentissages, par tâtonnement expérimental : il s'est placé prudemment face à une descente ; il est monté en selle comme il a pu et s'est élancé vers le point de chute prévu d'avance au bord du fossé.

 

Il a recommencé pour aller tomber un peu plus loin. Au bout de quelques exercices vivants de ce pur tâtonnement expérimental, sans explication ni leçons méthodiques, il a, en un temps record, appris à rouler à bicyclette. Et comme il l'a appris par une méthode naturelle, il ne l'oubliera plus jamais.

 

S'il est suggestionnable, il pensera peut-être aux démonstrations logiques de son professeur, à cet aspect théorique de l'équilibre dont il n'a pas compris les arguments, et son apprentissage en sera gêné. Heureusement, Il trouvera sur sa route quelque camarade qui lui dira prudemment :

 

- Ne pense pas à ton équilibre, ne regarde ni ton guidon, ni ta roue... Laisse-toi aller ; ça vient tout seul !

 

Le sens mathématique, comme l'équilibre s'affirme lui aussi tout seul, sans leçon soit disant méthodique, ou du moins, c'est le procédé habituel de cet apprentissage qui est faux et qu'il nous faut dépasser.

 

Comme l'art, comme la poésie, comme l'invention, le calcul procède non par paliers méthodiques mais par bonds, non par croissance régulière mais par explosion et éclatement ; non par une analyse des progrès acquis mais par une sorte d'illumination qui, tout d'un coup, change l'atmosphère ambiante et le climat où sont possibles alors de fulgurantes conquêtes.

 

Voyez d'ailleurs l'enfant en train de calculer. S'il s'agit seulement de mécanique, il répète automatiquement, l'être absent de l'opération. Mais s'il s'agit d'aborder la notion de nombre, vous le voyez se concentrer, prêt à faire fonctionner en lui, des circuits dont nous ne connaissons encore ni la genèse, ni le comportement. Et tout d'un coup surgit la réponse, exacte ou approchée, selon qu'a plus ou moins bien fonctionné le circuit secret.

 

Cette différence de méthode sera plus particulièrement sensible avec des enfants qui ont à résoudre un problème complexe. S'ils ont été formés selon les méthodes scolastiques, ils déclencheront le mécanisme opérationnel et, selon l'entraînement qu'ils auront subi, feront additions, règles de trois ou pourcentages, jusqu'à parvenir à des résultats qui sont parfois hors de tout bon sens. Vous ne les verrez pas s'émouvoir si, selon leur calcul, une auto vaut trente millions, Ce sont les chiffres seuls qui ont parlé, sans intervention majeure des zones intelligentes de l'individu.

 

L'enfant qui a travaillé selon une méthode naturelle fera fonctionner d'abord les subtils circuits intelligents et sensibles. Vous le verrez se concentrer et réfléchir sans oser s'aventurer à poser une opération tant qu'il n'a pas compris. Et cette compréhension vient tout d'un coup, comme une lumière qui jaillit et qui éclaire la route. A partir de cette illumination tout est simple, et, à une vitesse incomparable, l'enfant met au net, avec sûreté, la solution du problème.

 

C'est cette différence de processus, c'est l'usage de circuits tout à fait distincts, c'est ce principe de l'illumination que les psychologues devraient s'appliquer à étudier afin de normaliser un jour prochain les techniques d'enseignement du calcul.

 

IX. - L'ABSTRACTION.

 

Cette mystérieuse question des processus électroniques de compréhension mathématique est liée au problème tout aussi délicat de l'abstraction.

 

A l'Ecole, l'enfant compte trois doigts, cinq feuilles ou huit bûchettes, le nombre étant toujours lié à l'élément à compter.

 

Or, le calcul ne prend véritablement son envol que lorsqu'il est comme débarrassé de sa gangue matérielle, qu'il est abstrait de ce qui est pour devenir le nombre indépendant du milieu et des éléments, et qui va poursuivre comme une destinée autonome, propre à toutes les audaces et aux plus hardies combinaisons.

 

Qu'est-ce donc que cette abstraction ? A quel moment apparaît-elle dans les processus d'acquisition ? Quels en sont les avantages et les dangers ? Faut-il en hâter le manifestation ou s'attarder au contraire au concret qui en serait l'antithèse ?

 

De la réponse que nous pourrons faire à ces questions dépendra l'orientation même de notre méthode pédagogique. Essayons donc d'y voir clair, avec un maximum de bon sens.

 

*

 

Bon gré, mal gré, on s'est rendu compte de ce qu'avait de mécanique - donc de non éducatif - l'apprentissage scolastique des nombres et des opérations. L'enfant pouvait fort bien compter jusqu'à cent sans avoir seulement la notion du nombre trois - tout comme il répéterait cinquante mots grecs étudiés selon le même procédé. Il fait une addition difficile sans que l'effleure la pensée qu'il pourrait y avoir un rapport entre cette opération et des réalités similaires de la vie.

 

Les éducateurs sentaient bien que c'est là une faiblesse de leur système difficile à dominer et ils y ont cherché un correctif.

 

Puisque l'enfant n'identifie pas le nombre et la réalité, faisons-le compter et calculer sur des éléments de cette réalité, concrétisons notre enseignement. Au lieu d'ajouter 3 et 5, ajoutons 3 bûchettes et 5 bûchettes. Au lieu de multiplier 350 par 4 calculons 4 fois 350 francs.

 

Cela fait bien dans les livres où l'on a accumulé signes abstraits et concrets, séparés ou réunis selon la fantaisie des leçons par des traits en couleur ou des accolades, ces béquilles inutiles qui nous obsèdent comme des mutilations.

 

Conscient de l'impuissance de l'enseignement mécanique, hésitant devant le recours à un subtil circuit de vie, on a eu recours à une sorte de troisième force, qui n'est qu'un ersatz de l'un et de l'autre, et qu'il nous faut aujourd'hui dépasser.

 

Qu'elle est la part de l'abstrait et du concret dans un apprentissage naturel et normal du calcul ?

 

Il serait intéressant pour le savoir de considérer quelle serait la démarche d'un individu qui n'aurait pas été influencé, ni déformé, par des pratiques scolastiques.

 

Cet individu partirait naturellement du calcul vivant parce qu'il n'aurait encore aucun exemple de nombres foncionnant indépendamment de ses besoins de vie. Il ne lui viendrait pas à l'idée, pour mettre le couvert de compter 1, 2, 3, 4, 5. Il comparerait intuitivement le nombre d'assiettes au nombre de couverts ; vous verrez ses yeux aller des assiettes aux personnages à servir. Il n'aurait pas à définir le nombre 4 mais, par tâtonnement expérimental les rapports correspondants s'inscriraient dans son esprit pour servir le cas échéant dans des données similaires. Ainsi le nombre prend corps, comme prennent corps les couleurs correspondantes à certaines données de l'expérience.

 

L'abstraction, c'est-à-dire l'utilisation indépendante de signes découlant de ces rapports sera une démarche naturelle du tâtonnement expérimental. Mais, ainsi « abstrait » le nombre restera cependant chargé des éléments vivants qui en ont assuré la genèse. L'abstraction sera non point une opération scolastique mais une réalité liée au comportement de l'être.

 

Dans tous les domaines l'individu fabrique de l'abstrait, mais il ne me fabrique point à partir du concret, et pas davantage en vertu d'un don particulier d'abstraction, mais par une opération naturelle de déviation des rapports, fruit de l'expérience.

 

Et on remarquera d'ailleurs que ce sont justement les enfants qui ne sont pas suffisamment sensibles à l'expérience - qui ne sont donc pas suffisamment intelligents - ceux dont l'expérience, trop longue à aboutir au premier degré, ne se hausse jamais à la complexité du deuxième degré, qui sont les plus rebelles à l'abstraction, fruit normal du tâtonnement expérimental.

 

S'il en est ainsi - et la question vaudrait d'être longuement étudiée sous cet aspect - il nous faudrait partir exclusivement du calcul vivant, mais d'un calcul qui ne soit pas seulement le nombre et les mécaniques appliqués aux choses de la vie, mais qui susciterait l'établissement de relations qui trouveront plus tard leur expression dans le nombre.

 

Il serait donc illogique et antipédagogique de partir du comptage abstrait ou concret, tel qu'on le pratique dans la plupart des écoles.

 

Mais le comptage que nous pourrions dire vivant ne nous paraît pas davantage une solution idéale. Compter les pages à imprimer, le nombre de poules du poulailler, mesurer les dimensions de la classe ou du bassin est certes un progrès sur le comptage mécanique parce qu'il est plus ou moins motivé. Mais je persiste à penser qu'il faudrait partir davantage des éléments réels de la vie, selon les processus du tâtonnement expérimental. Créer, ajuster, deviner, estimer, comparer, voilà les fondements véritables du calcul, dont on ne voit pas tout de suite les effets il est vrai. L'enfant regarde, réfléchit, ferme les yeux parfois et, par des processus encore mystérieux, trouve une solution qui n'est peut-être qu'approchante mais qui ira se précisant à mesure que se diversifient et s'entrecroisent les expériences.

 

Calculer en fermant les yeux, c'est peut-être bien la première étape de cette abstraction.

 

Ne nous pressons donc pas d'enseigner les nombres aux enfants mais habituons-les à comparer et à estimer en fermant les yeux. Les nombres leur apparaîtront peu à peu comme dépouillés certes, mais chargés cependant de signification vivante. L'abstrait ne sera pas obligatoirement abstrait du milieu.

 

Peut-être faudrait-il prévoir et réaliser un matériel d'expérimentation et d'étude du calcul qui satisfasse tout à la fois aux exigences de l'abstrait et du concret ?

 

C'est ce que prétend réussir le matériel Cuisenaire des nombres en couleurs.

 

Selon notre raisonnement ci-dessus, il est exact que la matérialisation sous forme de réglettes ajoute une première dimension aux comparaisons nécessitées par notre apprentissage ; les couleurs sont une autre dimension et qui pourrait être d'une portée considérable, parmi les dimensions complémentaires qu'une pédagogie vivante pourra mettre à la disposition des enfants.

 

Mais à notre avis, l'usage de ce matériel n'irait pas au-delà de cette étude subtile des rapports dans des classes plus ou moins dépourvues d'expériences vivantes.

 

L'erreur est de croire que l'usage mécanique de ce matériel peut préparer autrement les enfants tout à la fois au comptage et à l'abstraction, dans un climat de questions et de réponses tout chargé de scolastique.

 

Comment ne serions-nous pas inquiets à ce sujet quand nous lisons sur les brochures d'emploi des questions qui ne le cèdent en rien à celles des manuels. Mettez deux réglettes bout à bout... Maintenant, prenez-en une plus petite et trouvez ce qu'il manque.

 

Pour cet usage réduit - et qui n'est pas sans valeur nous avons édité nous-mêmes un Matériel Camescasse composé de cubes systématiques de 1 cm d'arêtes et avec lesquels l'auteur résolvait et matérialisait des problèmes très abstraits. Mais ce matériel, au degré primaire du moins, nécessite la direction permanente du maître. Il peut être un matériel scolaire de valeur, tout comme le matériel Cuisenaire. Il ne permet pas de résoudre à notre satisfaction les problèmes de la compréhension arithmétique et de l'abstraction.

 

Dans un livre de Gattegno : « Le matériel pour l'enseignement des mathématiques » (Ed. Delachaux et Niestlé), nous trouvons d'ailleurs une mise au point excellente de ce souci de recherche de l'abstraction.

 

« Il est vain de rechercher une première abstraction, que ce soit dans l'ordre logique, dans l'ordre psychologique ou dans l'ordre historique. Quand se pose le problème de l'abstraction, nous sommes déjà en possession d'abstractions nombreuses sans lesquelles nous ne saurions formuler ce problème. La question est moins de savoir ce qui est l'abstrait en soi que de saisir comment nous progressons dans l'abstraction ».

 

Ces considérations vont nous être plus précieuses encore quand nous aborderons l'enseignement du calcul avec nos élèves du CE au FEP.

 

Vivant, à ce degré, ne signifie pas forcément le nombre encastré plus ou moins artificiellement dans les éléments de vie du milieu - ce qui serait déjà un progrès - mais un changement dans les processus d'acquisition. Il ne faut pas nous contenter d'une sorte de matérialisation prématurée du calcul, mais d'une idéalisation de ce calcul, idéalisation dont ne seront exclus ni l'imagination, ni le rêve.

 

Nous ne réduirons pas davantage nos problèmes vivants à une froide copie des problèmes scolastiques ou des examens. Ils seront - ils peuvent être - tout à la fois littéraires, historiques, géographiques ou scientifiques, comme dans la vie vraie.

 

Il faut - et nous sommes en cela sur la bonne voie - que nous prenions l'habitude de rédiger, d'extérioriser, de souder aux autres disciplines les problèmes complexes tels qu'ils se posent dans la vie.

 

On verra dans la deuxième partie comment nous approchons des solutions souhaitables.

 

X. - UNE PROGRESSION RATIONNELLE EST-ELLE INDISPENSABLE ?

 

Dans notre effort de rénovation, nous aurons contre nous tous les scolastiques qui préconisent, comme indispensable, une gradation soit disant scientifique dans les exercices, comme si nous devions mutiler et châtrer les problèmes de la vie pour les faire entrer dans les cadres prévus par une méthode désuète, avec des questions et des exercices fixés d'avance, et la possibilité, bien entendu, de mesurer les échelons de l'ascension.

 

Le problème s'est posé exactement de la même façon - et se pose encore dans bien des cas - pour le texte libre que nous avons mis à l'honneur.

 

Rien de plus semblable aux manuels d'arithmétique que les manuels classiques de français. Dans chacun des cas on part des notions supposées simples, de la phrase petit nègre ou de l'assemblage des premiers nombres. Cela ne signifie absolument rien pour le lecteur, mais c'est apparemment à la portée des enfants. Puis les notions vont se diversifiant avec leur longue liste d'exercices gradués.

 

Si cette graduation était vraiment indispensable, notre méthode naturelle ne saurait se justifier puisqu'avec nos tests complexes comme la vie nous usons de mots et expressions, de tournu