BTR 23-24 - 30 mars 77 PARCOURS pour une « mathématique naturelle » par Jean-Claude POMES
Témoin : Bernard MONTHUBERT |
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A mon avis, l'homme peut faire une quadruple utilisation de tout
matériau : il peut en faire un objet d'étude, un outil, un moyen de communiquer, un
moyen de se projeter.
Paul Le Bohec
SOMMAIRE
-Le chemin des
escargots (S.E.)
-Le chemin des poules (S.E.-C.P.)
-Le labyrinthe
(maternelle) par Josette Pomès
II) - LES PARCOURS : CE QU'ON EN A FAIT
-Le vélo d'Eliane
(C.E.2-C.M.)
-Les patins à
roulettes (C.E.2-C.M.)
-Le vélo de Michel (C.E.-C.M.)
IV) - MATHEMATIQUE
ET PEDAGOGIE NATURELLE
-La question du point de vue
-L'effet mathématique
-Processus et produit
Olivier C. 9 ans
J'ai eu le
privilège (?), au cours de ces dernières années, de changer fréquemment de poste, de
parcourir la campagne environnante. De ce fait, j'ai été au contact d'enfants bien
différents, et qui avaient en commun de n'avoir que très peu « touché » aux
maths, et jamais, de toute façon, dans une perspective de recherche libre. Des travaux
que j'ai recueillis, se dégagent bien des voies. Il en est une que je souhaite exposer
ici, celle qui a pour thème : les parcours.
Parcours :
cela veut dire qu'on a établi avec un corps une certaine continuité dans l'espace. Il
peut s'agir de son corps ou du corps d'un autre enfant, d'un animal ou plus généralement
d'un mobile auquel on donne aussi, curieusement, le nom de corps.
Cela veut
dire aussi, souvent, traces, matérialisation, mémoire, lorsque les pas s'impriment dans
la boue des talus ou s'inscrivent, mouillés, sur le sol de la classe ou de la maison.
Mais cela
peut aussi désigner une certaine discontinuité dans la continuité du vécu, un simple
déplacement qu'on effectue sans bien en prendre conscience entre des actes beaucoup plus
importants : un parcours, c'est l'état d'un passage, mais aussi un état de
passage !
D'où l'ambiguïté de la notion de parcours, dont on aura
l'occasion de reparler !
***
Qu'il
s'agisse de l'une ou l'autre acception du mot, ou même des deux mêlées, le thème des
parcours est très facile à susciter dans ce lieu de parcours de toutes sortes qu'est
l'espace-classe : il suffit d'écouter les enfants raconter où ils habitent dans le
village, par où ils passent pour aller à l'école, pour se rendre à la ville. Ou, plus
simplement encore, de les regarder se déplacer pour se rendre à un atelier, fonctionner
dans la classe. Il est bien rare qu'on n'entende pas, à un moment ou à un autre,
quelqu'un dire : « Ne passe pas par là, tu marches sur mon cartable, fais
plutôt le tour ! ». C'est que l'occupation de l'espace restreint de la classe
pose des problèmes, pas toujours facilement résolus par le peuple remuant des
enfants ! Des problèmes de parcours, il s'en produit continuellement. Aussi n'est-ce
pas tout à fait un hasard si, dans trois écoles différentes, les premières recherches
assez développées, sinon les premières recherches tout court, ont débuté par des
questions de parcours (je parle ici d'enfants de C.E.2 à C.M.2).
C'est là
le premier motif qui me pousse à une confrontation : les travaux effectués ont
abordé des pistes très différentes, montrant la richesse du thème, et les nombreux
secteurs math qu'il recèle. Il n'est pas besoin en effet d'enfants « entraînés à
la recherche » pour que les mathématiques viennent poindre le bout de leur nez.
Elles sont là, dès les premières questions abordées, dans les schémas, les approches,
les difficultés de compréhension et de communication, les dialogues, les traits
visionnaires, les anticipations, les quiproquos, les erreurs même. L'enfant démêle,
emmêle, entremêle des concepts trop souvent figés de façon immuable dans le corpus de
la théorie, dans la blancheur glaciale des pages des manuels scolaires. Il tisse ainsi un
réseau serré qui fait la part belle à certains concepts, les faisant apparaître en
pleine lumière, en écarte d'autres. Et certes, on verra que ces questions de parcours
sont aussi parcours dans les mathématiques, et même dans d'autres lieux plus indicibles.
***
Les
parcours comme élément central des recherches, c'est avant tout la trace laissée par un
passage, d'un point à un autre, bien sûr, mais de telle sorte que les raisonnements se
concentrent en fait sur la trace. Un parcours produit une suite de points mis en connexion
les uns à la suite des autres, et distingués de ce fait des autres points en nombre
infini qui constituent « l'espace ». Cet espace, donc, organisé par le jeu de
lignes repérables et matérialisables, nous conduit dans le secteur mathématique de la
géométrie. Mais d'une géométrie assez rudimentaire, puisqu'il n'est pas question de
mesurer des angles, des longueurs : pour retranscrire un parcours et réfléchir sur
sa nature, il importe seulement que la continuité soit respectée. Il faut reconstituer
une ligne continue, préalablement tracée par son corps ou le corps d'un autre. Mais on
verra qu'il y a déjà là matière à problèmes et interrogations.
Mais aussi,
lorsqu'on se place dans l'optique de la théorie ensembliste, on se rend compte qu'elle
est construite de telle sorte qu'elle foisonne d'un certain type de parcours. On sait que
la théorie ensembliste pose, au départ, le concept d'ensemble. Mais, aussitôt, il
s'agit de faire « vivre » ces entités mortes en elles-mêmes, d'éléments
discrets et tous discernables. Le concept d'ensemble ne vit qu'à la condition qu'il
existe déjà, à l'intérieur de lui-même, entre les éléments qui le composent, des
relations.
De la même façon, confronter deux ensembles revient à
établir, entre certains de ses éléments, des relations. De telle sorte que le concept
central, dans la théorie ensembliste, est bien celui de relation. Et l'une des
matérialisations les plus immédiates de ces relations, c'est le fléchage,
matérialisation, donc, par un parcours, des relations d'un élément d'un ensemble à un
autre. Une transcription soucieuse de mettre en évidence des relations, utilisera, dans
les limites de la page, le fléchage, instaurant ainsi tout un réseau de parcours. On
peut donc parler de parcours partout où il est question de relier entre eux deux
éléments, la flèche pouvant par ailleurs exprimer n'importe quel rapport entre ces
éléments (Jacques a le même vêtement que Paul : Jacques à Paul).
Mais
pourtant, dans ce genre d'exemples, le fléchage n'est qu'une matérialisation possible
parmi d'autres, et, le plus important, c'est le point de départ (l'élément-origine) et
le point d'arrivée l'élément-extrémité). Sil y a fléchage, tout tracé, tout
parcours sur la feuille est accepté et admis, du moment que les éléments adéquats sont
mis en relation. Pourtant, un réseau de flèches sur l'espace-page peut poser des
interrogations spécifiques, dans la mesure où des contraintes interviennent. Cet aspect
apparaîtra dans quelques exemples.
Les
déplacements sont une mine inépuisable de raisonnements et de recherches dans ce secteur
des parcours. Un bras qui bouge, une poche qu'on retourne, voilà autant de parcours§
Mais, ce qui importe souvent, là encore, c'est les positions initiale et finale du bras
ou de la poche ou du corps. Le parcours n'est pas forcément l'élément déterminant sur
lequel va se porter la réflexion. Le parcours comme élément de réflexion déterminant,
c'est le critère qui rapproche entre elles les recherches, les points ou états de
départ et d'arrivée n'ayant qu'une importance secondaire.
La
genèse des parcours
LE CHEMIN DES ESCARGOTS (S.E.)
Cette
recherche a été faite par deux enfants de S.E., Laure et Sylvie, dans une classe unique
de sept élèves. Dans cette classe, il y a deux S.E., un C.E.1, deux C.E.2, un C.M.1, 1
C.M.2. Pas d'enfants de C.P.
En rentrant
en classe un matin, nous constatons que les escargots ont quitté leur bocal, mal fermé
la veille. L'un d'entre eux se trouve sur la paroi extérieure du bocal voisin, celui des
chenilles. Et on peut voir les traces de son parcours, c'est la « bave »
séchée. On suit donc du doigt le chemin qu'il a parcouru, et on décrit oralement les
différentes péripéties : il a soulevé le couvercle seulement posé, a descendu le
long de la paroi extérieure du bocal, est passé sur la table, puis a monté le long de
la paroi extérieure du bocal des chenilles, sur lequel il se trouve encore. A la suite de
cela, j'invite Laure et Sylvie à dessiner le chemin de l'escargot. Sylvie se place sur le
tableau noir, Laure sur le tableau de papier.
Premier
dessin de Laure :
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Genèse
du dessin :
Laure a
d'abord dessiné l'escargot, puis la maman escargot (1). Elle a ensuite représenté la
route (chemin de l'escargot) extérieure aux escargots, et formant une ligne fermée (2),
puis la maison au bord de la route : maison des escargots (3). Pas de trace des bocaux, ni
des chenilles. Afin d'amener Laure à se remémorer la situation vécue, je l'invite à me
montrer du doigt le chemin suivi par l'escargot : elle suit la route tracée, puis,
avec le feutre, trace une autre route (4). Dans la zone ainsi délimitée, elle dessine de
l'herbe (5), puis, à l'extérieur du dessin, un lapin (6), ajoute des
« pattes » aux escargots, puis, place trois escargots sur la route, et place
sur chacun un serpent qui leur « touche les oreilles » (7).
Ainsi qu'on
peut le constater, Laure, partant de l'escargot a associé de nombreux éléments qui
transforment complètement la situation vécue et observée. Des éléments prégnants de
la situation observée l'escargot, les deux bocaux, le parcours matérialisé par la bave,
il n'en subsiste que deux le chemin et l'escargot, et encore ne sont-ils pas reliés entre
eux !
Pendant ce
temps, Sylvie fait au tableau un dessin qui rend mieux compte de la situation
observée :
Premier dessin au tableau :
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On y
trouve : le bocal des escargots, le chemin de l'escargot, constitué par une ligne
fermée, l'escargot étant à l'intérieur de la ligne fermée, mais pas du chemin.
Des
éléments marquants, on en trouve donc trois sur quatre. Seul a disparu le bocal des
chenilles, mais, là encore, il n'y a pas connexion entre l'escargot et son trajet.
L'escargot est situé à l'intérieur du chemin qui est, comme dans le dessin de Laure,
une ligne fermée. Il ne me semble pas pourtant que les deux enfants se soient
influencées au cours du dessin qu'elles réalisent simultanément, mais séparément et
sans contact. Il faut noter que l'escargot qui se trouve dans le bocal n'est pas
« l'escargot voyageur » dans sa position initiale (avant sa fugue) mais un
autre escargot, de ceux qui sont restés dans le bocal (il y en avait encore
quelques-uns !).
Mais Sylvie
manifeste elle aussi le désir de travailler au tableau de papier, et propose de
retravailler ce qu'elle vient de faire au tableau. Laure, pour sa part, de retour à sa
place, manifeste aussitôt le désir de prolonger le travail effectué par un dessin.
Deuxième dessin de Laure : (reproduit schématiquement)
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Commentaire :
c'est la méchante femme qui tient l'escargot avec une ficelle.
On voit
aisément la transposition des éléments du premier dessin :
- le lapin
est devenu la méchante femme, tout en gardant son apparence de « lapin ».
- le
serpent qui « touche les oreilles de l'escargot » est devenu la ficelle.
On notera
aussi que la relation de l'escargot à la méchante femme est effective. La ficelle n'est
plus ici, séparée de l'escargot qu'elle est censée tenir, comme c'était le cas dans le
premier dessin pour le parcours de l'escargot.
J'indique
aussi que c'est l'un des rares dessins de Laure à connotation agressive : « la
méchante femme ». Il me semble, en ce sens, que ce deuxième est un
approfondissement du premier quant aux éléments dégagés. Se pose la question de la
signification symbolique de ce travail, qui ne sera pas approfondie ici.
Le travail
de Sylvie :
Deuxième dessin au tableau de papier : (Sylvie)
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Les
éléments du premier dessin se retrouvent sur ce deuxième : le bocal ; le
chemin sous forme de ligne fermée, l'escargot (accompagné de la mère escargot), à
l'intérieur de la ligne fermée. De nouveaux éléments sont venus s'ajouter : le
pré, ligne fermée avec une fleur à l'intérieur, un homme, l'école, la limace sous la
pluie.
Sylvie a
été, incontestablement, influencée ici par le dessin de Laure. Et si les éléments de
base du premier dessin se retrouvent ici, ils sont maintenant pris dans un contexte plus
large. La caractéristique de ce contexte est, d'ailleurs, d'être formé d'éléments
familiers, auxquels Sylvie peut faire référence facilement :
- la
maison, c'est l'école, notre école, celle-là même où nous sommes actuellement (avec
les escargots)
- le pré,
c'est le pré derrière l'école, pré que Sylvie désigne d'un geste de la main
- la
limace, c'est l'une de celles qu'on voit dans le pré, quand il pleut ou a plu
- seul le
bonhomme est « indéfini ». L'instituteur ? Le père ?
Le dessin
de Laure, au contraire, comporte presque uniquement des éléments imaginaires
- la maison
des escargots
- les
pattes des escargots
- les
serpents.
Mais ce
qu'il convient de remarquer, c'est que l'organisation de l'espace, dans le dessin de
Laure, est cohérente, tandis que, dans celui de Sylvie, on a affaire à un espace
« imaginaire » :
-
l'épisode des escargots se passe à l'intérieur de l'école
- le pré
et la limace sont à l'extérieur immédiat de l'école
- les murs
de l'école, qui devraient en principe marquer la frontière, sont situés par côté et
n'assurent aucune séparation entre les deux scènes.
Cet espace
imaginaire est marqué, donc, par des continuités ou des discontinuités non conformes à
la « réalité adulte » :
- le chemin
de l'escargot n'est connecté ni à l'escargot, ni au bocal (discontinuité)
- il pleut
sur la limace qui, en principe, est dans le pré, mais, en fait, est à l'extérieur du
pré (discontinuité)
- il n'y a
pas de frontière entre l'intérieur et l'extérieur de l'école (continuité)
Donc, si on peut dire que les dessins de Laure et Sylvie traduisent un « espace imaginaire », c'est, pour l'un, parce qu'il est composé surtout d'éléments imaginaires, pour l'autre, parce que l'agencement d'éléments réels est imaginaire. Tels quels, ces dessins foisonnent d'éléments symboliques.
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LE CHEMIN DES POULES
L'exemple
du chemin des escargots, s'il est significatif, ne doit pas être pris pour un exemple
singulier. J'ai éprouvé à plusieurs reprises quelles difficultés insoupçonnées il y
avait, au niveau des enfants de S.E.-C.P., pour traduire sur la page, une situation
parfaitement vécue et raisonnée « sur le terrain ». C'est pourquoi, pour
tenter de lever certaines difficultés de traduction, je cite ici un raisonnement fait à
partir d'un dessin. Car les dessins foisonnent pourtant de situations, ainsi transportées
sur la page, qui présentent une organisation spatiale cohérente. Et dans cet espace
déjà « projeté » (noter la double signification du mot), des raisonnements
ont lieu.
Le chemin
des poules, c'est, au départ, un dessin de Babé (C.P.) dans une classe unique de
dix-huit élèves, comportant trois S.E. et trois C.P. Je restitue ce travail d'après mes
notes, les documents, sauf un, ayant été égarés.
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Babé explique : « C'est le poulailler et la cour. Les
poules vont manger le grain ». Et elle ajoute : « Celles qui sont dans le
poulailler sont aussi dans la cour ». Ce qui signifie que l'état du poulailler
(avec ses sept poules) et celui de la cour ne sont pas simultanés. Les sept poules sont
d'abord dans le poulailler, puis elles se trouvent ensuite dans la cour. On retrouve ici
une situation un peu analogue à celle de l'exemple précédent la connexion simultanée
de deux états qui se passent pourtant à des moments différents. Babé explique en
s'aidant de son doigt :
celle-ci (dans le poulailler) est là (dans la cour), etc.
Elle met
donc en correspondance la poule du poulailler et la poule de la cour (il s'agit en fait de
la même poule !). Mais, comme elle se trompe, en mettant en correspondance deux
poules différentes du poulailler avec la même poule dans la cour, je l'invite à tracer
au stylo la correspondance, ce qui revient à tracer le chemin suivi par chaque poule pour
se rendre du poulailler à la cour. Tous les enfants de S.E., C.P. étant alors
intéressés, chacun va dessiner le chemin des poules. Il est admis après discussion que
les poules doivent, comme dans le dessin de Babé, se trouver, dans le poulailler, sur
deux lignes de respectivement trois et quatre, et dans la cour, sur deux lignes de cinq
éléments chacune. On obtient ainsi des dessins du type :
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et, dans
l'ensemble, la correspondance terme à terme est réalisée par tous. (Je ne peux
reproduire les différentes représentations, les ayant égarées).
Cependant,
Babé est en panne sur sa page et elle critique vivement les réalisations de ses
camarades.
-
« Ça ne va pas L'examen de sa page permet de comprendre :
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Et là, elle est coincée !
Coincée puisqu'il lui faudrait faire « croiser »,
« couper », les chemins :
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Ce qu'elle
ne veut en aucun cas et qui lui permet de repousser, de critiquer les réalisations des
autres. Aussi on recommence le dessin au tableau en essayant, collectivement, d'aider
Babé à élaborer une solution compatible avec ses exigences. Solution trouvée assez
rapidement, et qui revient à établir une symétrie verticale (par rapport à un axe
vertical) pour répartir les poules :
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Pourtant,
en recopiant le « document de synthèse » destiné aux correspondants, Babé
se trompe à nouveau, puis, très fière, trouve une autre solution !
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LE
LABYRINTHE (classe de Josette POMES)
Autre
façon d'aborder les parcours. Ici, il ne s'agit pas de retranscrire une situation vécue,
ni de construire des parcours sur la feuille. Tout est d'emblée donné, et il est
question d'interprétation.
Une classe
correspondante envoie un labyrinthe à une classe de grande section de maternelle. Il y a,
pour chaque enfant, un labyrinthe polycopié. La souris peut emprunter deux chemins :
l'un mène au fromage, l'autre au chat. Il s'agit donc de trouver le chemin qui mène au
fromage. Pour les enfants, il est pourtant surtout question de suivre jusqu'au bout les
deux traces. Le stylo-feutre matérialise la recherche de chacun. Examinons comment chaque
enfant a été suscité par un document extérieur à la classe, et qu'il s'agit de
s'approprier.
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Abel s'est
borné à assurer la continuité des lignes partout où la duplication présentait des
défauts et faisait des chemins une ligne discontinue. Agnès s'est intéressée à la
partie comprise entre deux lignes et délimitée par elles, partie qu'elle a coloriée
(comme elle a colorié le chat, la souris, le fromage). Elle a ensuite suivi une ligne,
puis s'est absorbée dans les boucles formées par les lignes. Elle en a ainsi repéré
deux.
Dans ces
deux documents, les enfants se sont laissé happer par les lignes et les jeux qu'elles
appelaient, indépendamment du problème posé (rechercher le chemin que doit suivre la
souris pour aboutir au fromage).
Neuf
parcours « réussis », c'est-à-dire qu'il a été possible aux neuf enfants
de trouver un chemin menant de la souris au fromage, un autre de la souris au chat
(malgré quelques changements de voie et superpositions).
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D'autres rationalisations, d'autres utilisations :
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Cécile a
construit les deux chemins de telle sorte qu'ils ne se traversent jamais. Ils ont
cependant quatre points communs.
Laurence a
suivi d'abord le chemin de la souris au chat. Pour aller de façon plus directe au
fromage, elle a rebroussé chemin à un moment.
Virginie a
suivi un chemin et a pu, à partir d'un croisement, se rendre soit au fromage, soit au
chat.
Didier a
suivi les parcours souris-chat puis chat-fromage, en restant continuellement d'un même
coté par rapport au tracé général des chemins.
Christian a
suivi les parcours souris-fromage et fromage-chat, le deuxième parcours recouvrant en de
nombreux endroits le premier.
*
L'intérêt
de ce travail est de montrer comment les enfants sont suscités par la continuité,
comment ils la raisonnent. Ici, tout est donné d'emblée. Mais ces traits qui
s'enchevêtrent et se pénètrent, comment les parcourir ? En se laissant porter par
eux ? En les suivant en fonction de la règle de départ ? En s'imposant des
contraintes de parcours ? Autant de façon d'agir, de se perdre ou de se retrouver...
LE
CHEMIN DU BANC ET CE QU'IL A PROVOQUE
La
recherche du labyrinthe avait eu lieu un samedi. Le lundi suivant, dans la salle de jeux,
les enfants font des recherches de gymnastique. Certains proposent de pousser un banc à
travers la pièce.
Et le banc,
ainsi promu au rang de mobile, laisse la trace de son passage sur le sol lustré. Les
enfants remarquent ces « chemins », les suivent.
De retour
en classe, il est fortement question de chemins. Et chacun dessine ce qu'il veut sur son
bloc, sur le thème prédominant dans la vie de la classe à ce moment-là.
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Cécile est
la seule à restituer seulement le chemin du banc. Un seul pied du banc est relié au
chemin correspondant. Le deuxième pied n'est pas relié à son parcours. Franck a
utilisé plusieurs éléments :
- le banc
et son chemin. On notera que le banc est placé à sa position départ et aussi à sa
position arrivée. Le tracé relie les deux états du banc.
- le
labyrinthe est retranscrit aussi, dans un tracé complexe avec de nombreuses boucles.
- une
maison et le chemin qui en part ou y mène. Ce chemin est une courbe fermée. On
retrouvera cet élément dans de nombreux dessins.
Le chemin
qui part de la maison, et qui finit par se refermer sur lui-même, est un élément qui
revient fréquemment ici, comme dans de nombreux autres dessins d'enfants. L'interrogation
qu'on peut se poser porte sur le « pourquoi se referme-t-il ? ». Et sont
variées, en fonction de la vie même de l'enfant en classe ou, surtout, dans son milieu
familial.
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Dans cette
autre série, le chemin relie deux lieux, en général l'école et la maison ou
l'appartement familial. Des éléments extérieurs viennent parfois se rajouter.
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Enfin,
trois dessins reprennent pour le simplifier (de façon singulièrement éclairante) le
labyrinthe.
Olivier et
Jean-Jacques mettent devant la souris un seul chemin qui se divise ensuite en deux, une
partie allant vers le chat, l'autre vers le fromage.
Le tracé
d'Olivier est très direct, celui de Jean-Jacques comprend de nombreuses boucles.
|
Christian a séparé nettement les deux chemins avec peu de croisements (un seul) et de boucles (une seule).
Les
exemples fournis dans cette première partie, si tant est qu'ils sont représentatifs des
problèmes rencontrés généralement par les enfants dans leur pratique tâtonnante sur
le thème des parcours, appellent certaines interrogations. Du fait même de la disparité
des attitudes rencontrées. Ce n'est pas qu'il faille être tout à fait surpris quand
même. Le côtoiement prolongé des enfants d'âge grande section-C.P. prépare à ce
genre de pérégrination.
L'exemple
cité en premier, le chemin des escargots, pose un certain nombre de problèmes. Partant
d'une situation vécue, les deux enfants, Laure et Sylvie ont librement associé des
personnages et des événements qui les suscitaient à ce moment-là. Et on débouche sur
une représentation d'un espace imaginaire, trace « objective » laissée sur
le papier d'un itinéraire qui fait référence à d'autres éléments que ceux présents
dans la situation de départ. Et cet espace imaginaire appelle une lecture symbolique, car
les éléments librement associés ne sont pas venus là par hasard, ils réfèrent,
renvoient à des données extérieures certes à la situation vécue, mais intérieures au
sujet qui les a ainsi « projetées » sur la page. Chemin, maison, escargots se
chargent d'un sens, deviennent des signifiants spécifiques. Purs symboles
mathématiques ? Certes non, bien que, par un certain côté, porteurs et véhicules
d'un « effet mathématique », celui qui organise entre eux les signes pour une
topographie qui reste la matérialité signifiante dissociations, ruptures, frontières
présentes-absentes. L'organisation même de l'espace des symboles leur donne leur valeur
de symboles. A leur tour, ceux-ci renvoient à un au-delà de l'espace mathématique qui
les organise.
Mais espace
imaginaire, charge symbolique, c'est ce que les dessins matérialisent. C'est ce que peut
constater une lecture du document terminé, c'est le produit qui renvoie à son
antérieur, le processus producteur, « l'élément réel du machinique »
(Deleuze). Processus producteur qui est, en fait, le véritable « signifié »
sous-jacent et organisateur, c'est lui qui, structurant l'espace et les symboles, associe,
expérimente, se déploie dans sa mobilité, dans son jeu dialectique avec les éléments
qu'il appelle, met en place et sur lesquels il rebondit. Quel nom lui donner ?
Tâtonnement, inconscient ? Qu'est-ce qui le guide, comment se guide-t-il lorsqu'il
produit le réel comme imaginaire, l'imaginaire comme réel ? Quelles forces
somatiques le mettent en oeuvre, en fin de compte ? Et la situation de départ, en
quoi est-elle déterminante ? Ou indifférente ?
Dans ce
champ ouvert des libres associations, la mathématique, l'affectif, l'inconscient dans ses
effets, tout cela se chevauche, s'entremêle, s'interfère. Associations, disjonctions,
tâtonnements, et sous-jacente, une organisation logique saccadée, éclatée mais
présente et toujours à l’œuvre et dont on peut toujours repérer les traces,
les signes.
La
situation de départ est certes prédominante. Dans les deuxième et troisième exemples,
les poules et le labyrinthe, cet effet d'organisation des signes épars l'emporte sur le
besoin de projection au travers de la profusion sur la page. Ces signes déjà là
demandent à être structurés, c'est par l'action qu'ils vont obtenir leur cohérence,
leur « droit à la vie » (la vie signifiante s'entend !). Et ici les
parcours se rationalisent, soit dans leur rapport avec les animaux dont ils sont la
trace : chemin des poules qui se croisent sans difficulté (dans la réalité, une
poule n'a guère d'égard pour le chemin d'une autre poule !), chemins qui mènent de
la souris au chat, de la souris au fromage), soit dans leurs rapports entre eux :
démarches de Babé (construction symétrique), de Cécile, Laurence, Virginie, Didier,
Christian.
Le
quatrième exemple est intéressant dans la mesure où il est une synthèse des trois
autres : une situation vécue en appelle d'autres, un peu plus lointaines, mais
pourtant présentes. Sont ainsi restitués l'itinéraire du banc, celui, simplifié, de la
souris vers le chat ou le fromage (et cette simplification est certes éclairante ! ), et
aussi celui de l'enfant pour se rendre à l'école, là où on produit sa propre trace,
son propre effet. On notera quelques « divagations » dans le style de celle de
Laure et Sylvie, des ruptures (qui peuvent en dire long !) sur le trajet, et aussi un
espace réel, topologiquement parlant, qui reproduit la maison, l'école, et le chemin qui
va de la maison à l'école. Faut-il en conclure que l'enfant est plus apte à restituer
sa propre trace (qu'il a longuement expérimentée) que celle des escargots, des poules ou
de la souris ?
Les parcours : ce
qu'on en a fait
Eliane a apporté son vélo. Elle propose un parcours chronométré autour des quatre arbres alignés de la cour. Puis, ce parcours étant sans doute trop simple, elle propose un deuxième parcours qui n'utilise que trois arbres. Pour des raisons pratiques (chronométrage), l'arrivée et le départ se situent au même endroit.
En rentrant
en classe, on fait le plan des parcours pour les correspondants (sur ma proposition). Il
ne pose pas de difficulté.
|
Sur ce
plan, on matérialise le premier circuit, puis le deuxième (en pointillé). Il n'est pas
question du sens de parcours. Et aussitôt, Gabriel enchaîne : "On peut trouver
beaucoup d'autres parcours
Il propose
alors :
|
A sa suite,
la classe se met en recherche. Eliane donne :
|
Et
Dominique a trouvé un circuit particulièrement compliqué :
|
qu'elle simplifie ensuite en :
|
Pour
reproduire au tableau son circuit, je demande à Dominique, d'expliquer. Elle
indique : - « Je pars du premier arbre ».
Phrase
incompréhensible pour tout le monde. On décide de façon unanime de numéroter les
arbres :
|
Ceci fixé,
Dominique poursuit – « Je pars par là ».
Elle
indique par geste le haut du tableau. D'où la nouvelle explication : la direction
indiquée, c'est la droite du cycliste qui fait le parcours. D'où la marque
droite-gauche. Et la description du circuit :
Je passe à
droite du premier arbre.
à droite du deuxième
à gauche du troisième.
Une
hésitation se produit ici, et Jean-Michel justifie après avoir tracé la frontière
– « Tu as franchi la frontière, alors c'est du côté gauche ». Suite de
sa description :
à gauche du quatrième
à droite du quatrième
à droite du troisième
à gauche du troisième
à droite du quatrième
à gauche du quatrième
à gauche du troisième
à gauche du deuxième
à gauche du premier
Arrivée.
Pour faciliter la transcription, Gabriel propose que le départ
et l'arrivée se fassent sur la frontière, au bout de la cour, à proximité du premier
arbre.
Il propose aussi que chaque enfant marque son circuit sur sa page
pour une dictée plus rapide :
droite du premier : D 1,
gauche du deuxième : G2, etc.
|
Suivant le code proposé par Gabriel, le circuit de Dominique
s'écrit :
D1 D2 G3 G4 D4 D3 G3 D4 G4 G3 G2 G1.
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A la
séance de recherche suivante, le tableau ayant été effacé entre temps, je reporte
d'après mes notes les trois circuits déjà transcrits, qui se trouvent ainsi l'un sous
l'autre, ce qui n'était pas le cas des inscriptions faites la veille.
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Et Gabriel
s'exclame immédiatement que je viens de faire un tableau, car on peut voir la colonne du
1, celle du 2, celle du 3, celle du 4.
D'où le
tableau. Mais quatre colonnes ou huit colonnes ?
Jean-Michel
tranche en disant qu'il faut quatre colonnes puisqu'il y a quatre arbres. Il note aussi
qu'il est inutile de marquer à nouveau 1 dans la colonne des 1. On transcrit d'abord le
circuit de Gabriel, puis celui de Christiane, et enfin celui de Claudine, chaque circuit
nécessitant deux lignes.
Eliane remarque aussitôt que la première et la cinquième
lignes sont identiques. D'où la discussion pour savoir s'il faut la laisser ou l'enlever.
Pour elle, il faut la laisser, sinon on dissocie le circuit de Claudine, formé des lignes
5 et 6.
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Marc considère qu'on peut enlever la cinquième ligne, le
circuit de Claudine se lisant alors à l'aide de la première et de la dernière ligne du
tableau.
Cette dernière solution est adoptée par la classe (moins
Eliane).
Jean-Michel indique qu'il y a d'autres lignes possibles dans le
tableau. Il peut, par exemple, placer la ligne : G G G G
La
recherche s'oriente maintenant vers les différentes lignes possibles du tableau. La
recherche collective permet assez rapidement de trouver les seize lignes possibles du
tableau :
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Si elle
avait poursuivi sa recherche jusqu'au bout, elle aurait en fait trouvé 256 circuits soit
28 circuits (calcul du nombre d'arrangements avec répétition des 16 lignes
deux à deux). On notera qu'Eliane ne prend pas en compte la signification des colonnes.
Pour elle, associer les lignes 1 et 2 consiste à les lire
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Cette distorsion n'enlève cependant rien à son travail, du reste fragmentaire.
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Autre
piste, particulièrement intéressante, celle proposée par Jean-Michel, qui se souvient
d'une recherche antérieure, peu développée, mais dans laquelle on avait utilisé
plusieurs symbolismes.
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J'ai donné
plus d'importance au symbolisme de Françoise, et indiqué qu'au lieu de dire une barre,
un rond, on pouvait raccourcir en 0 - 1. Cet apport, même s'il n'a pas, en soi, une
importance décisive, pouvait nous conduire sur une voie encore inexplorée, celle du
comptage en base 2. Et c'est effectivement ce qui s'est produit.
On a donc
édifié le tableau précédent à l'aide du 0 - 1.
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Pour
édifier ce tableau, on a eu quelques difficultés, car Gabriel, qui dictait, n'avait que
quinze lignes. D'où l'idée de mettre de l'ordre, idée qui avait déjà affleuré alors
qu'on établissait le même tableau avec D et G. La classe a été unanime à mettre en
premier la ligne 0 0 0 0. Pour la suite, plusieurs conceptions se sont affrontées
-
mettre ensuite la ligne 1 1 1 1. Mais
ensuite ?
-
mettre d'abord toutes les lignes commençant,
à la première colonne, par un 0.
C'est cette dernière piste qui donne le comptage régulier en
base 2 sur quatre colonnes :
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Discussion ici pour numéroter chaque ligne. Il apparaît qu'on peut noter la première ligne comme étant la ligne 0, et la deuxième comme étant la ligne 1, puisqu'elles indiquent 0 et 1. D'où le système de correspondance entre les nombres en base 2 et ceux en base 10.
Prolongements de cette recherche :
- on
pourrait rechercher combien de circuits on obtiendrait avec trois arbres, deux arbres, un
arbre.
- la
recherche de Gabriel.
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Celui-ci
fait avancer un cube sur sa table, d'abord sur la face avant, puis sur une face latérale.
Gabriel a pressenti l'analogie de ce travail avec le travail
précédent. Trouver tous les parcours possibles revient à faire un tableau sur sept
colonnes. C'est ce qu'il a fait.
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LES PATINS
A ROULETTES (1) C.E.2-C.M.
Un an plus
tard, dans une nouvelle classe où je n'ai plus, cette fois-ci que des enfants de
C.E.2-C.M. la situation vécue avec le vélo d'Eliane s'est présentée à nouveau très
vite après la rentrée.
Renée
avait apporté ses patins à roulettes. Et comme elle sait faire des slaloms, ce qui n'est
pas le cas de tous ses camarades, on dispose, sur la partie en pente de la cour, quatre
cailloux, qu'on aligne.
Le fait
qu'il y ait quatre cailloux (comme l'an passé quatre arbres) est purement fortuit. Les
quatre cailloux servent en fait à bloquer les volets des deux porte--fenêtres de la
classe. Le parcours, dans le sens de la pente, est donc un slalom entre ces quatre
cailloux.
A notre
rentrée en classe, on dessine, pour les correspondants, le parcours suivi. Des
difficultés de dessin (sens de placement), nous amènent à discuter :
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Pour
Christian, le parcours de Jean-François est « à l'envers ». On refait donc
le dessin de Jean-François sans être surpris que le parcours ne soit pas le même que
celui de Francis.
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Comme, de
plus, on n'est pas d'accord sur la gauche et la droite du parcours, on se rend à nouveau
dehors repérer le parcours suivi par Renée. Mais Didier suit un autre parcours, imité
par Francis, puis par d'autres. De retour en classe, on recherche d'autres parcours
possibles, avec pour convention le départ en haut du dessin, l'arrivée en bas. On en
trouve bientôt dix, puis enfin seize. Il n'a pas été ici question d'écrire les
parcours, mais de les dessiner directement. On numérote les parcours de 1 à 16.
Thérèse et Eric ont remarqué que certains parcours
correspondent à d'autres parcours, ou plus précisément comme le dit Thérèse, sont
« l'autre côté » l'un de l'autre. On améliorera plus tard ce vocabulaire en
disant : « le contraire » à la place de « l'autre côté ».
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Mais on
peut aussi passer de 1 à 4 en « un coup », en faisant « le
retourné ».
Marie-Noëlle
a proposé l'écriture, admise comme valable par tous :
contraire
et envers du 1 = retourné du 1.
c'est
pareil que
soit, plus rapidement
C et E du 1 = R du 1
Renée
prolonge :
C et E du 2
= R du 2
et :
C et E du 3
= R du 3
C et E du 4
= R du 4
D'où cette
remarque pertinente de Renée
-
« Pour n'importe quel parcours, le contraire et l'envers, c'est le
retourné ! »
Et elle
écrit :
C et E = R
A partir de
là se produit toute une série de devinettes que les uns posent aux autres, et auxquelles
on répond en se rapportant, ou non, aux parcours :
R et C = ?
E et R = ?
E et E = ?
C et E et R = ?
C'est ainsi
qu'on a découvert une quatrième transformation « faire le même » ou
transformation identique :
E et E = M
car l'envers du 1, c'est 3 et l'envers du 3, c'est 1.
Il m'est difficile de parler des prolongements de cette recherche, dans la mesure où elle a marqué de façon déterminante un grand nombre de recherches ultérieures.
Un seul
prolongement donc est indiqué : Jean-François et Philippe, rapprochant les parcours
deux à deux ou quatre à quatre, ont réussi à établir assez facilement les 64 parcours
possibles si on avait eu six cailloux.
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En classe unique avec cinq enfants C.E.-C.M. Michel a apporté son vélo. Et immédiatement, il propose un parcours chronométré dans la cour. Parcours avec slalom et obstacles. On utilise trois obstacles fixes : deux des piliers du préau et l'arbre de la cour. Patrick dispose aussi trois obstacles mobiles. Le plan du parcours de Michel est le suivant (en noir, obstacles fixes) :
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Ce plan n'a
pas fait de difficulté. Régis indique aussitôt qu'il est possible de faire d'autres
parcours. Il en établit rapidement quinze.
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Toute la
classe se met alors en recherche. Et les premiers problèmes se posent :
-Patrick a
changé le point de départ et arrivée, tout en conservant le principe du circuit.
- Michel a
déplacé certains obstacles mobiles.
Après
discussion, on se met d'accord sur les points suivants :
- pas de
déplacement du point de départ. arrivée.
- pas de
déplacement des obstacles mobiles.
Cette décision prise, on décide aussi de tirer au limographe le
plan de la cour avec ses obstacles. Cela permettra un travail de recherche plus rapide.
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On
est arrivé ainsi à construire les 64 circuits à 0 boucle.
Voici
le début de la classification, qui comprend :
les circuits 0 -
1 soit 6 circuits
les circuits 0 -
2 soit 15 circuits
Ces
nombres correspondent aux différentes combinaisons de six éléments pris un à un, puis
deux à deux.
La longueur de la recherche et la lassitude des enfants ont fait
que nous n'avons pas étudié les cas à 1 et à plusieurs boucles.
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C'est
l'étude des seize première séquences qui va permettre de prolonger la recherche de
façon systématique.
Remarques :
- En comparant
D B E C B A C D A
et
D B E C B A D C A
on remarque que ces deux séquences diffèrent seulement par la
permutation les lettres
C et D voisines.
De même pour
D B E C B A D C A
et
D B C E B A D C A
on a ici,
permuté E et C.
- Chaque séquence comporte neuf lettres
2 A 2 B 2 C 2 D 1 E
- Dans
chaque séquence, on peut lire la « sous-séquence » B E C ou C E B Cette
sous-séquence n'est jamais au début ni à la fin.
-
D B A D C E B C A et A C B E C D A B D
Bernadette
et Eliane ont remarqué que la deuxième séquence est « l'envers » de
l'autre. Elles vérifient que toute séquence peut être prise dans les deux sens
à ACB ECD ABD ß
Avec une
séquence, on peut construire deux « enveloppes ».
D'où la
réflexion de Gabriel : « Si je pars de chez moi pour aller au plateau, je peux
revenir du plateau chez moi ! »
- Si ça commence par A, ça finit par D
et
- Si ça commence par D, ça finit par A
A la suite
de ces remarques, on va construire d'abord les séquences, puis vérifier qu'on peut
construire l'enveloppe correspondante.
En tête,
on place A. On place D à la fin. On place la sous-séquence B E C ou C E B à un endroit
quelconque
A . . B E C . .D
Il reste quatre lettres à placer dans la séquence :
A, B, C et
D.
Et on établit les règles suivantes :
- on ne
peut pas mettre deux fois la même lettre en suivant : A A
- si, à la
suite du A, on met C, par exemple, on ne peut plus mettre A à côté de C
A C . B E C A . D
ou
A C A B E C . . D
- si donc, à la suite de A, on place C, on fixe la lettre
suivante qui ne peut être que D
A C D B E C . .D
La lettre
qui suit le deuxième C est obligatoirement B, car, sinon, on aurait C A ou C D,
sous-séquences déjà placées.
àA C D B E C B . D ß
La dernière lettre à placer est forcément A. àACDBECBAD