Dossier : Démarrer en Pédagogie Freinet : en mathématiques

Avril 1980

EN MATHEMATIQUES

En guise d'introduction

“La pratique de la pédagogie de l'Ecole Moderne, de la pédagogie Freinet ? - Ça, c'est l'affaire du primaire !” Ne laissons plus cette idée se répandre. Au second degré, il yen a qui en ont tenté la mise en reuvre... et même en mathématique !

Alors, lorsqu'on se trouve “séduit” par les principes de cette pédagogie, vient l'éternelle question: comment démarrer ?

Tout d'abord, ne nous illusionnons pas trop, les premières expériences n'ont guère plus de quinze à vingt ans... ce qui, somme toute, est récent, lorsque l'on souhaite asseoir une pratique sur une expérimentation scientifique. Néanmoins, cela n'a pas empêché un bon nombre de collègues, professeurs de mathématiques, de s'y engager ; ainsi avons-nous tout de même quelques éléments pour un démarrage.

Ajoutons une dernière remarque qui donnera une direction de lecture pour ce qui suit : quelle que soit la précision des réponses et des témoignages et si les renseignements tirés par chacun de l'expérience d'autrui sont d'une grande richesse, il ne s'agit en aucun cas de les prendre pour des recettes d'une cuisine pédagogique moderne. Chacun suivra donc une progression adaptée à sa propre personnalité, ainsi qu'aux conditions matérielles quotidiennement vécues.

Le choix de la pédagogie Freinet, pédagogie reconnaissant le droit au tâtonnement expérimental et à l'expression libre de chacun, n'est en aucune façon la manifestation d'une volonté de laisser aller. Au contraire, il s'agit de mieux comprendre notre pratique d'enseignant “démocrate” ; aussi y a-t-il une mobilisation très grande de l'attention, une grande prudence dans l'observation du vécu quotidien de notre classe et une écoute particulière des collègues de notre milieu de travail qui sont peut-être des “collaborateurs” potentiels d'une future équipe pédagogique. Tout cela, ne le cachons pas, prend beaucoup de temps et exige beaucoup d'énergie. Mais c'est à ce prix que l'on passe de la “velléité” à la volonté de changement.

Le document qui suit est constitué de témoignages, en partie extraits de La Brèche, et tente de s'articuler autour de cet axe schématique - fournissant les concepts fondamentaux de cette pédagogie appliquée à la spécificité de l'enseignement des maths :

1. RELATIONS PROF-ELEVE D'UN TYPE NOUVEAU, inductrices d'une ambiance riche favorisant le travail constructif .

2. VERS l'INDIVIDUAliSATION DU TRAVAIL :

a. Autocorrection/autocontrôle

b. Libre recherche

c. Planification individuelle du travail, contrat.

3. VERS L'ORGANISATION COOPERATIVE DE LA CLASSE

4. COMMUNICATION ET EXPRESSION

a. Débat et exposé en mathématiques

b. Journal de classe à expression mathématique

c. La correspondance scolaire

5. LES COMPROMIS : les limites, les garde-fous, les échecs enrichissants, les obstacles.

Cependant la globalité de cette pratique n'est nullement oubliée et l'attitude “réductionniste” adoptée n'est là que pour faciliter l'exposé.

1. RELATIONS DANS LA CLASSE

Il me semble que nous aurions plus de précision en remplaçant le mot “élève” par “apprenant” et “professeur” par “facilitateur d'apprentissage”. Cela éviterait les connotations usuelles.

a) Voici un témoignage qui donne le ton à travers un premier contact : “ Etre soi-même”.

“Nous devons être conscients que chaque année, se retrouver devant des élèves inconnus est une aventure difficile pour certains professeurs, inquiétante pour d'autres, mais toujours passionnante. Quand le professeur est dans l'établissement depuis plusieurs années, les élèves ont déjà entendu parler de lui d'une façon ou d'une autre. Ils ont sur lui un léger avantage mais pour eux se pose une question : la réalité confirmera-t-elle les “on dit” ? De là cette atmosphère si pénible et si décisive qui pèse sur ces premières minutes. Il semble presque que tout est fonction du coup d'envoi qu'un mot, un signe, peuvent déterminer l'année entière, que la moindre fausse manreuvre peut libérer des énergies dont on ne pourra plus contrôler jamais le flot ou au contraire éteindre d'un coup une flamme qu'on aura mille peines à raviver. Les élèves de sixième et à plus forte raison de cinquième ont déjà laissé pas mal de leurs illusions au cours des années passées. Certains sont déjà meurtris, désenchantés. D'autres sont prêts à se livrer entièrement mais prenons garde de ne pas nous engager trop le premier jour et de ne pouvoir éviter plus tard de trahir leur confiance.
Existe-t-il une recette miracle pour ce premier obstacle dont le passage est si déterminant pour l'avenir ? Non évidemment car cela voudrait dire que tous les professeurs sont du même modèle, que tous les élèves se ressemblent et que tous nos établissements sont du même type. Pourtant nous nous proposons ici de dégager un certain nombre de points qui semblent être indispensables à l'établissement d'un climat favorable à la pratique de notre pédagogie.

Tout d'abord il faut se montrer accueillant, sans tomber dans le paternalisme et se garder d'agir de manière calculée “pédagogique” car ceux qui vous regardent ne s'y trompent pas.

Il faut ensuite éviter à tout prix de monopoliser la parole pour faire l'énumération de toutes les structures que l'on a pu penser pour l'année scolaire. Si on enferme l'enfant, dès le premier jour, dans un cadre pensé par nous, nous nous privons d'emblée des ressources de son imagination.

Il faut enfin et surtout être nous-mêmes, c'est-à-dire être dans la classe comme nous le sommes par ailleurs dans la vie.

Les obstacles ne manquent pas, mais nous nous employons à les franchir ensemble avec les élèves. Cette tâche est d'autant plus facile que l'attitude du professeur est sans artifice et qu'il est lui-même à chaque instant”.

Nous complétons ce prologue par le compte rendu de l' expérience :

bl Premières heures dans une classe de sixième

“Nous faisons connaissance à l'aide de fiches pour les élèves et moi j'écris ma fiche au tableau. (Nom, prénom, adresse, date et lieu de naissance, profession des parents, nombre de frères et soours, d'où viens-tu ? qu'est-ce que tu aimes le plus ?) Ensuite je pose la question du rôle de chacun de nous dans la classe, en particulier les relations professeur-élèves et élèves entre eux pendant le cours. Je fais quelques schémas pour orienter un peu la discussion qui s'engage ensuite très librement entre nous.

Deuxième heure : la discussion a porté surtout sur le schéma 2 et le schéma 3.

“Il faut un chef de groupe, mais alors on est obligé de suivre le chef”.

“Il ne faut pas de chef car, s'il yen a un, certains sont jaloux et il y a toujours des disputes pour être chef”.

Cette discussion a été passionnée. Ils n'ont pas pu se décider pour l'un ou l'autre schéma: peur de la nouveauté. J'ai dû proposer une forme de travail pour la troisième séance.

Travail de groupe (3 ou 4) avec plusieurs sujets de recherches (je fournis le matériel). Par exemple, jeu de cartes, blocs logiques, enquêtes sur les sports préférés, les animaux préférés, etc.

Ils sont sortis de cette heure enthousiasmés.

Dans les heures suivantes, ils ont recherché des ensembles, des diagrammes. Ils ne reprenaient pas cette recherche chez eux et, quand ils venaient en classe, ils semblaient reprendre la recherche tout au début et cela ne semblait pas avancer.
Après avoir pris conscience de cet obstacle, nous instaurons une fiche professeur-élèves qui permet à chaque élève, ou à chaque groupe de noter rapidement où il en est et ce qu'il prépare. J'utilise moi-même cette fiche pour communiquer aux élèves quelques conseils.

Certains ont trouvé le travail de groupe très dur et au début ont préféré chercher seuls. D'autres ont trouvé qu'on allait très lentement. J'ai toujours peur moi-même, dans les premiers jours, de passer trop de temps à établir un climat, sans que cela semble déboucher immédiatement sur des résultats sensibles. Mais je sais bien qu'il est nécessaire de piétiner, de reculer quelques fois pour mieux avancer ensuite... ”.

2. VERS L'INDIVIDUALISATION DU TRAVAIL

a) L' autocorrection / l' autocontrôle

Il s'agit de fournir à l'élève, un outil qui individualise son travail, qui réduise sa dépendance à l'égard du professeur.
Cette pratique intervient dans le cours de l'acquisition d'un savoir comme une pratique de renforcement des apprentissages (dans le schéma du “tâtonnement expérimental”, elle s'inscrit dans la phase “paliers de répétition”) et de mise en évidence des phénomènes d'incompréhension ou de sous-compréhension.

“Individualiser” le travail pour rendre le professeur plus disponible.

L'autocorrection permet ainsi d'économiser le discours du professeur, lui faisant gagner un temps, ô combien précieux ! qu'il peut réinvestir dans la pratique de son enseignement”.

Cette pratique ne va pas sans matériel : il existe déjà des livrets autocorrectifs, d'autres sont en élaboration et des recherches didactiques sont en cours dans le domaine de l'autocorrection/ autocontrôle .

Listes des livrets autocorrectifs

Ce sont les numéros suivants de la série “ livrets de libre recherche et création mathématique” :

23 Puissance d'un naturel, multiples et diviseurs.

24 Naturels premiers. Ecriture primaire d'un naturel.

25 Addition et soustraction dans [ ???? ndlr ]

26 Ajouter ou soustraire des sommes ou des différences.

27 Multiplication dans [ ???? ndlr ] . Puissances D

36 Puissances de 10 : encadrement et valeurs approchées dans : D

37 Puissances de réels: calculs dans un groupe - équations.

38 Inverse et racine carrée dans: D ; ordre et valeur absolue sur R

39 Addition et multiplication dans R ; quotient de réels.

41 Vecteurs géométriques du plan (1) : constructions - calcul vectoriel (addition, multiplication par un réel).

42 Equations et inéquations du 1er et 2d degré {niveau seconde).

45 Applications affines.

Voir aussi :

“ Dossier ouvert sur l'autocorrection en mathématiques au 2° degré”, article paru dans La Brèche, n° 46 de février 1979.

“ la bibliographie des outils en mathématiques” dans La Brèche n° 56 de février 1980.

Complétons par quelques témoignages d'utilisation :

Comment je la pratique : J'utilise essentiellement les livrets de la C.E.L. (références et liste avec thèmes plus bas).
Pour se les procurer, il faut se fendre de 70 à 80 F ou les faire commander par le bahut (ce qui est beaucoup mieux !).
Au début, j'en avais une série (la mienne) c'est-à-dire 10 livrets. Maintenant j'en ai deux séries (la seconde commandée par le bahut ; ça suffit largement. Tout dépend du nombre d'élèves et de leur niveau, il est bien évident que pour la 5e ou la 1ère année de C.A.P. il vaut mieux plusieurs livrets sur Z que les équations du 2d degré...

les élèves peuvent se mettre par deux éventuellement (problème de rapidité de travail). On peut également utiliser ces livrets comme documents pour refaire soi-même un polycopié autocorrectif .

Je les utilise essentiellement pour des révisions (par exemple révision du calcul numérique niveau 3e N E Q Rpour mes élèves de 1ère et 2e année de B.E.P.) ou pour parfaire de nouvelles acquisitions (2d degré, trigo). Je fais faire en début d'année un plan de travail autocorrectif :

titre du livret	N°	J'en suis où	Tests nombre d'erreurs ( ou note)	livret fini

Ce plan servira toute l'année (il est en principe sur la couverture intérieure de leur cahier). A chaque début de séance d'autocorrection, ils le consultent pour voir où ils en sont. A la fin de la séance, ils le remplissent. Je corrige leurs tests avec eux.

Fréquence des séances : cela dépend des classes. Je pense qu'il est bon de fixer dès le début de l'année une heure par semaine (ou deux heures tous les quinze jours). Je dispose les livrets au milieu de la classe (j'ai les tables en U).
Chacun choisit le livret qu'il veut (on peut, bien sûr, avoir à les conseiller en cours d'année, quand on les connaît mieux), mais ce qui est important c'est, à mon avis, qu'ils se sentent responsables d'un bout à l'autre de ce travail. Autant dans le choix des révisions qu'ils pensent avoir à faire, que dans l'exécution.

Ils travaillent comme ils veulent, (en général seul), mais je leur demande, sauf précision, de faire le livret à peu près entièrement, une fois qu'ils en ont choisi un (sinon ils changent rapidement). La preuve en est, en général, les résultats aux tests : s'il y a beaucoup d'erreurs, c'est qu'un bon nombre d'exercices du livret a été survolé.

En guise de conclusion, je dirai que je n'en reviens pas moi-même, à chaque fois, de la façon dont ils sont motivés par ce mode de travail. Je n'ai jamais vu, par exemple, mes seconde année de C.A.P. autant bosser (j'utilise avec les C.A.P. le cahier autocorrectif arithmétique - algèbre de la classe de 5e ancien programme.(..)).

Jean- Yves SOUILLARD

“J'utilise des fichiers autocorrectifs dans les classes de 6e et 5e depuis plusieurs années. Cet outil me paraît indispensable ; il rend possible l'individualisation de l'enseignement, il permet à l'enfant d'assimiler une notion à son rythme, il favorise la prise en charge du travail.

Exemple : fichier autocorrectif niveau 6e.

J'ai découpé le programme de 6e de la façon suivante : (constructions géométriques - grandeurs proportionnelles - pourcentages - calcul numérique dans les entiers et les décimaux - mesures longueurs - mesures aires - additions dans Z - soustractions dans Z - puissances - arbre). Sur chaque thème, je fabrique une dizaine de fiches d'exercices d'application “très classiques”. Pour chaque exercice, il y a deux fiches, la fiche énoncé, la fiche solution qu'ils viennent chercher lorsqu'ils pensent avoir fait correctement l'exercice.

Pendant la semaine, il y a au moins une heure où les élèves utilisent ce fichier, en général c'est une séance de travail individuel. Assez vite, je leur propose de fabriquer eux-mêmes des fiches. Fabriquer un énoncé, même si au départ c'est uniquement un exercice d'imitation est très formateur ; être capable de fabriquer un énoncé, c'est se rendre capable de comprendre les énoncés des autres car on apprend à en dominer la technique. C'est aussi une étape nécessaire pour être sûr que la notion est bien assimilée. Il arrive parfois que, sur le thème proposé, l'élève trouve une piste d'exercice.

Cette fabrication de fiches amène la communication entre les élèves. Ils s'interpellent s'ils ne comprennent pas l'énoncé de leur camarade, ils se corrigent les erreurs. Les fiches autocorrectives terminées servent à compléter le fichier de la classe, ou sont parfois destinées aux correspondants”.

Janine HUCHET

L'autocorrection a été pour moi le premier outil d'ouverture de ma pratique pédagogique (en maths - sciences C.E.T.).

J'avais alors une classe de 1ère année de B.E.P., donc des élèves venant des horizons les plus divers. Je voulais éviter le contrôle du professeur sur les classiques “révisions” où les adolescents sont toujours affolés à l'idée d'exposer ainsi leurs “non-connaissances” à un prof nouveau (après on s'habitue).

Je disposais de sept ou huit livrets autocorrectifs (niveau premier cycle : connaissances mathématiques de base). Les élèves se sont placés par petits groupes de trois ou quatre selon le thème qui leur paraissait le plus urgent et ont travaillé ensemble. Ils devaient me remettre les tests (facultatifs), mais en plus rédiger une demi à une page, pour le groupe, de ce qui leur avait paru le plus important dans ce qu'ils avaient vu, pour ensuite le polycopier et le remettre à tous les autres. Ce qui facilitait la tâche de chacun ensuite pour savoir si, oui ou non, il lui était nécessaire de faire ce livret (les titres des livrets ne leur étaient en effet pas très parlants).

J'ai bien conscience que cette expérience était extrêmement directive et surtout ponctuelle (bien qu'au total cela ait duré un mois et demi) ; mais cela a permis de continuer ensuite l'année sur des bases plus coopératives où chacun existait en tant qu'individu différent, mais aussi en tant que groupe (trace et communication). Je savais ce qu'ils savaient (attitude positive), au lieu de seulement prendre connaissance des lacunes (attitude négative).

Odile PUCHOIS - Classe de 1ère année de B.E.P.

D'autres expériences existent aussi au lycée dans les classes du second cycle.

b) Libre recherche mathématique

C'est sans doute dans cette pratique que la rupture est la plus évidente. Elle constitue donc l'obstacle le plus difficile à franchir dans nos conditions actuelles de travail. Néanmoins les témoignages sont, ici aussi, présents, d'une part à travers les comptes rendus qui suivent, d'autre part à travers les contenus des livrets PRM (Pistes de recherches mathématiques) et des livrets “témoignages”, issus de nos classes.

Fiche 11-2 du livret no 29- pages 19-20 : fiche recto

LIBRE RECHERCHE MATHEMATIQUE

PRM 2e degré Comment connaître 11.2

approximativement

l'âge d'une voiture ?...

Si cette question t'intéresse, tu peux faire une enquête au service des immatriculations de voitures de la préfecture de ton département.

Demander par exemple :

- les dates de changement de série :

exemple : 1 MR ..... le ............. 19...

- ou bien les séries utilisées pendant ces dernières années :

1973 ............ séries ............

1972 ............ séries ............

1971 ............ séries ............

La première enquête portant sur les deux dernières années ou une seule année (1973 par exemple) est plus facile : elle te donnera l'âge avec plus de finesse (le mois...)

fiche verso

Quelques suggestions... lecture facultative

Si tu as pu obtenir Ies dates de changement de série
le .................. 19.... série RQ (c'est-à-dire 1 RQ ....... )

le .................. 19.... série RR

etc

Tu peux représenter I"ensemble des numéros d"immatriculation à I'aide d"une droite
Choisis aIors "une échelle"

Place les numéros que tu as relevés,

1 KR 50 999 KR 50
------------I---------------------------------------------------------------I-----------------------

Tu peux aussi faire plusieurs représentations
à des échelles différentes :

une droite pour une année
une droite pour les 5 dernières années

ou d'autres...

Tu peux associer aux représentations, précédentes, les dates d'immatriculation de maniéres différentes à imaginer...

Alors tu pourras ensuite dire "approximativement'" la date de mise en circulation d"une voiture en observant le numéro sur la plaque minéralogique

Ceci est un extrait d'un livret PRM (Pistes de recherches mathématiques).

Ces livrets sont des recueils de fiches détachables regroupées par thèmes (une ou plusieurs fiches pour chaque thème).

Une fiche est constituée de deux parties :

recto : une situation provocatrice

verso : quelques suggestions,destinées à amorcer les recherches tout en ménageant une grande liberté (leur lecture est facultative).

Ces livrets PRM peuvent servir :

- à provoquer une recherche nouvelle,

- à débloquer une recherche arrêtée (par apport de suggestions à un moment favorable),

- à fournir une information nécessaire à un moment donné,

- à prolonger une recherche entreprise par ailleurs,

- à confronter une situation avec d'autres déjà vécues.

• Voici donc un premier témoignage :

Savoir attendre le déconditionnement sans se décourager. Le 23.1.78

“J'en ai marre, je n'arrive pas à provoquer des moments de libre recherche cette année. Je dois mal me débrouiller... Je ne possède" pas assez les nouveaux programmes (chacun sait que le programme de math a encore changé en 6e cette année). La formation en primaire est mauvaise, le niveau baisse. J'ai l'impression de faire marche arrière cette année.
Je n'arrive pas à faire passer ce que c'est vraiment que chercher. Tels sont mes propos aujourd'hui dans la cour du C.E.S., avec les collègues qui comprennent mon langage.

Le lendemain matin, 24.1.78. En classe de 6e 1

Nous travaillons à partir de fiches-guides que je fabrique, mais, somme toute, assez traditionnelles. Nous faisons un travail de conversion dans les mesures de surface et nous trouvons que, pour passer des

m2 aux dm2, il faut multiplier ou diviser par 100,

m2 aux cm2, il faut multiplier ou diviser par 10.000,

m2 aux mm2, il faut multiplier ou diviser par 1.000.000, et ainsi de suite, entre les km2 et les mm2, il y a un suivi de 12 zéros. Rien de passionnant.

J'introduis alors la notion de puissance d'un nombre et j'explique comment cela simplifie l'écriture des grands nombres. Je répète une fois de plus mon leit-motiv, maintes fois jeté depuis le début de l'année: “Vous avez le droit de poser des questions, c'est même recommandé ; les mathématiques, ce n'est pas de la mécanique, c'est chercher”. Et, cette fois, mon appel est entendu. Une gamine crie : “Et 23 millions, on peut l'écrire avec des puissances ? - Qu'en pensez-vous ? Cherchons !”. Et voilà c'est parti! Des yeux s'illuminent, des hypothèses fusent de partout.

- “Moi, je crois que j'ai trouvé, ça doit être 100.00023.

- Ah! Vérifie d'après la définition : cela veut dire :

100.000 X 100.000 X 100.000 ... 23 fois.

- Ah! non, moi j'ai trouvé : ça doit être 130.000 + 105.

- Ah! vérifions... non...”.

Bref, le dialogue s'établit.

Puis découragement et référence au maître :

- “Mais Madame, vous, vous savez si c'est possible, de trouver, vous nous le garantissez ?

- Oui, oui”.

Réflexion de la gamine ayant posé la première question : "Eh bien, si j'avais su, je n'aurais pas posé ma question !”.

Les autres de répliquer: “ Mais tu n'y penses pas, c'est intéressant de chercher”.

. Deux autres exemples de recherches libres au premier cycle

“Un groupe étudie le double-décimètre et découvre, après des observations insignifiantes, l'importance du bouton molleté qui permet de s'en saisir : une droite joignant un nombre de la graduation au bouton passera par le même nombre de la seconde graduation ; de plus, le bouton est milieu du segment limité par les deux points associés aux deux nombres. De cette observation naissent de nombreuses constructions : l'une d'elles montre comment on peut obtenir la deuxième graduation à partir de la première et du bouton ; une autre construction retrouve le deuxième bord du double-décimètre à partir du premier et du bouton (les élèves découvrent, sans aucun mot de ma part que, dans une symétrie centrale, le symétrique d'une droite est une droite).

9 10 11

\ I /

•

/ I \

11 10 9

J'ai laissé les élèves longtemps encore manipuler, construire puis, ne voyant pas d'autre résultat apparaître, je les ai amenés à généraliser leurs constructions, en quittant la droite pour le plan”.

“A partir d'un envoi de nos correspondants (classe de Colette Martin à Issoire) : nous avions reçu l'arbre suivant sur les élections du chef de classe.

“ Le premier élu aura le cahier de textes ;

- Le second le carnet de notes ;

- Le troisième la feuille de présence”.

Nos correspondants nous proposaient aussi l'arbre pour quatre élèves candidats. C'est le premier arbre qui a retenu l'attention: un groupe a examiné les triplets obtenus ( (a,b,c) ; (a,c,b)...) et s'est demandé (très abstraitement) comment passer de l'un à l'autre.

Voici les travaux :

Si on combine deux transformations, on obtient une transformation déjà nommée. J'ai incité le groupe à construire une table de Pythagore pour rassembler les résultats. Les élèves ont aisément conclu de l'étude de la table qu'il s'agissait d'un groupe non commutatif : ce n'est pas surpenant, nous sommes en présence de l'ensemble des bijections d'un ensemble sur lui-même et de la composition de ces bijections; cependant, la démarche m'a paru originale et surtout motivée”.

. enfin des élèves de 2T1 répondent aux questions d'un collègue de mathématiques

“ Patrick E. - Qu'y a-t-il de changé cette année dans la classe de math ?

Serge P. : Il y a eu plus d'initiatives de la part des élèves. On était amenés à chercher soi-même. Le professeur ne donnait pas, n'imposait pas quelque chose de tout fait, on était amenés à découvrir .

Eric B. : Il y a aussi le fait de faire les “Libres Recherches”, on ne se connaissait pas au début de l'année puis le fait de faire des “libres recherches”, on travaille plus ensemble et on apprend à se connaître. On fait de meilleurs travaux que des travaux forcés sans se connaître vraiment.

Jean-Paul P. : Cette année on a travaillé plus de nous-mêmes. Cela nous donnait envie de travailler les maths.

Patrick B. : L'atmosphère du cours était un courant qui favorisait la communication.

Un autre élève : Il faut savoir travailler avec cette méthode : soit on ne fait rien, soit on travaille beaucoup.

Patrick E. - Est-ce que ce changement vous a amenés à faire des maths avec plus de plaisir qu'avant et à aimer davantage les maths ?

Jean-Paul P. : Bien sûr puisque avant, on apprenait les théorèmes par creur, on apprenait beaucoup de choses par cœur mais bien souvent sans comprendre. Cette année on apprend toujours des choses par creur, bien sûr, mais le travail est moins lassant: ce qui fait qu'on aime mieux travailler en math... L'esprit de liberté contribue à faire aimer les maths.

Remarque de Serge P. : Il a dit qu'il aimait mieux travailler en math ; il n'a pas dit qu'il aimait mieux les maths. Moi, je ne sais toujours pas pourquoi on fait des maths, le but, je ne vois toujours pas. Bien sûr, les “libres recherches”... c'était intéressant...

Jean-Paul P. répond : Non, je ne crois pas ; M. Régnier a essayé de nous faire comprendre à quoi servaient les maths et pourquoi on fait des maths, tandis qu'avant je n'en avais aucune notion ; cette année je n'en ai pas une notion très précise, mais j'en ai une petite idée.

Patrick E. - Avez-vous été plus actifs cette année ?

Serge P. : C'est évident... puisqu'on était amenés à chercher les résultats nous-mêmes.

Jean-Paul P. : L'année dernière, on copiait toute l'heure et on essayait de comprendre le soir en reprenant notre cahier . On était totalement passifs. Tandis que là au contraire...

Un autre éIève : L'année dernière on faisait plus d'exercices car tout le monde était obligé de les faire, cette année s'il y en a qui ne veulent pas travailler, on ne leur dit rien.

Jean-Paul P. : Oui, mais il arrive un certain âge, où chacun doit prendre ses responsabilités.

Patrick E. - Est-ce que cela vous paraÎt difficile d'être actifs ?

Serge P. : Oui, puisque depuis le début on a été amenés à subir. Ça change maintenant, cela nous paraît plus naturel de rechercher.

Patrick E. - Dans la “libre recherche” il yen a qui peuvent ne rien faire ?

Un éIève: S'il y en a qui ne font rien que consommer, le groupe les rejette.

Patrick E. - Cela a-t-il changé l'image que vous aviez du prof ?

Jean-Paul P. : Avant on voyait un prof comme quelqu'un d'important qui savait tout et qui ne communiquait pas avec les élèves ; tandis que maintenant on comprend qu'un prof est un homme qui continue à apprendre et qui doit continuer à apprendre.

Ce n'est plus quelqu'un qui est sur un piédestal. Il a ses ennuis, ses problèmes, comme tout le monde”.

3. INDIVIDUALISATION DU TRAVAIL AU SEIN D'UNE ORGANISATION COOPERATIVE DE LA CLASSE

En classe de sixième (1976-1977)

“ Mise en place progressive d'une organisation semi-coopérative dont la forme définitive 1?!) a été la suivante :

• Contrat avec les élèves pour le travail à la maison sur une période de quinze jours (soit huit séances math) :
- Rédiger deux problèmes (ou en faire un et le corriger s'il est faux) du niveau certificat d'études, sous forme d'organigramme, méthode permettant de bien séparer les indications du texte des questions à chercher .

- Compléter quatre opérations à trous (multiplication ou division) et en inventer quatre autres avec le nombre minimum de chiffres laissés pour pouvoir la re-compléter.

- Faire deux fiches de calcul mental autocorrectives.

- Trouver deux exercices utilisant le cours de l'année et en inventer deux sur le même “patron”.

Tous ces problèmes et exercices se trouvaient dans un classeur, sur fiches. Ce classeur circulait dans la classe durant l'heure et chacun choisissait son travail. Un plan de travail permettait de garder une trace sous forme de tableaux de ce qui a été fait.

• En classe, durant cette période de quinze jours, travail en groupe sur différents sujets : Cartes perforées, triangle de Pascal, carrés magiques, carrés emboîtés, aires, bouliers.

Durant cette période, je m'occupais quelquefois d'un élève seul lorsqu'il avait des difficultés dans une sorte d'exercices demandés à la maison.

Chaque groupe préparait un moyen d'informer les autres de leur travail : affiches, montages diapos, résumé polycopié.

• Chaque période de huit séances était séparée d'une période de quatre séances où toute la classe était réunie :

- On discutait de ce que faisait un groupe qui présentait son travail.

- Quelques pistes s'ouvraient alors ainsi que des mises au point qui servaient de résumés de cours.

- Les plans de travail étaient arrêtés lorsque la classe était réunie, mais avant qu'ils me soient donnés, chaque élève essayait d'évaluer son travail à partir de tableaux récapitulatifs et de quelques réponses à “oui-non”.

• Cette maniàre de travailler a eu plusieurs avantages :

- Prise de conscience de leur travail par les élèves.

- Nécessité d'une rédaction correcte ressentie comme un besoin de la communication aux autres.

- Suivi personnel de chaque élève beaucoup plus riche et, généralement, épanouissement des élèves bloqués.”

4. COMMUNICATION ET EXPRESSION

a) Le débat et l'exposé

Si ces deux pratiques semblent acquises, voire “traditionnalisées”, dans les matières littéraires, il n'en est pas de même en math. Lorsque l'on propose cette éventualité aux élèves, ceux-ci en sont très étonnés et posent la question : “Mais que peut-on exposer en math ?” et “De quoi pouvons-nous débattre ?”.

En mathématiques, ne discutons-nous pas que les paramètres ? Cependant le passage à la pratique ne se fait pas avec autant de résistance que nous pouvons le penser. J'en prendrai pour exemple (parmi d'autres) ce qui s'est passé cette année en classe de 2AB2

“Alors qu'il avait été question de Félix Klein, j'ai demandé que quelqu'un nous informe sur sa biographie et son œuvre.
Une élève se proposa. Je lui indiquai des sources documentaires possibles. Elle nous fit un exposé durant lequel j'ai demandé aux autres de garder des traces écrites. Même démarche pour Newton et Pascal qui. se trouve aussi être étudiés en français”

Ce domaine est, à mon avis, le plus accessible à la communication, l'exposé introduisant une dimension historique dans le cours de math. La difficulté majeure que je relève ici porte sur l'explication de l'objet et du sens des recherches anciennes (une question de formation personnelle du prof s'y ajoute).

Un second exemple m'est donné encore dans cette classe :

“ Nous étions en train de travailler sur des calculs numériques avec présence de puissance de 10. Je relatai alors une recherche faite, deux ans avant par des élèves de 2T, sur la difficulté matérielle d'écrire 10^{1000 000 000}(durée d'environ 31 ans!).

Des élèves refusent de me croire et relèvent le défi. Soudain la classe est saisie par une frénésie de vérification : les 2/3 environ se mettre nt à écrire des 0 ; on entend : “ Ça y est, en voilà 1000... 2000 ... ils totalisent leurs exploits !

Je propose que deux ou trois élèves reprennent la recherche de façon plus solide ; ce qui fut accepté et l'exposé eut lieu une quinzaine de jours plus tard”.

Enfin à la suite d'une séance d'exercices quelque peu pénibles, une élève lâche la fatidique question : “Mais, M'sieur, à quoi ça sert les maths ?”.

Aussitôt un débat spontané naît, des affirmations fusent que, des démentis viennent contrer... J'interviens alors pour dépassionner la discussion et faire qu'un débat de fond argumenté puisse avoir lieu. Je leur propose de chercher, durant un mois, des éléments, au travers de diverses sources, pour étayer les opinions de chacun. La veille des vacances de Noël, nous consacrons plus d'une heure à cette confrontation. Chacun pose plus ou moins de questions (nous sommes 31 dans cette salle). Néanmoins un certain effort de dialogue et d'écoute est à remarquer. Deux élèves président la séance. Ils n'ont cependant pas beaucoup approfondi la recherche de documents. Je leur apporte moi-même des documents concernant l'évolution historique de l'enseignement des mathématiques pour éclairer certains propos sur les contenus d'enseignement. Par exemple : je leur montre des manuels du XIXe siècle ou du XVllle siècle ; à propos des équations du 2d degré, je leur donne des extraits de la “vie de Henri Brulard” de Stendhal ou de celle d'“Evariste Galois” de Infeld Leopold, ou encore le programme du concours de l'école polytechnique en 1800 d'après une affiche.

S'il est difficile d'évaluer la portée d'une telle pratique, elle n'en apporte pas moins quelques bulles d'oxygène dans la vie quotidienne de la classe.

b) Le journal de classe à expression mathématique

Je continuerai ici à puiser les témoignages dans ma propre pratique. Trois années consécutives de 1975 à 1978, un journal a été produit en classe de 2T1 :

deux numéros en 75-76 : “la matharde me monte au nez”.

trois numéros en 76-77 : “mathons les maths et les échecs”.

trois numéros en 77-78: “pi-jamath”.

La première année, j'ai proposé aux élèves de faire un journal pour réunir leurs recherches, leurs productions (dessin, texte, bandes dessinées, jeux mathématiques). J'en assurai le tirage à l'alcool avec l'aide de quelques élèves. Ils étaient maîtres du contenu. Le journal resta dans la classe ou fut donné à quelques copains.

Les deux années suivantes, en m'appuyant sur cette première tentative, je proposai le journal aux élèves qui acceptèrent et prirent un engagement. Je contactai divers collègues au cours de rencontres I.C.E.M. et un réseau d'abonnés (environ 30) se mit en place. Ce contrat poussa les élèves à tenir l'engagement. J'intervenais dans la mise en page, la duplication qui se faisait cette fois à l'encre. Le contenu était libre, du moins n'y a-t-il eu aucun problème !

Le cadre donné était celui d'un contenu ayant rapport avec les mathématiques.

La quatrième année, la proposition fut encore acceptée, mais le contrat non tenu. Je voulais évaluer ma propre part. Je n'ai pas vraiment poussé. De plus je voulais aussi souffler, car la reproduction pose de véritables problèmes dans le cadre actuel des conditions de travail.

Cette année en 2AB2, l'idée n'a pas encore été évoquée.

Ci-joint quelques extraits

c) La correspondance scolaire

En mathématiques, comme ailleurs, la correspondance est un outil d'échange très riche et tout à fait réalisable.

“Un facteur important pour réussir un démarrage, surtout dans une classe neuve, c'est la correspondance. Sur un plan purement mathématique on peut douter de son efficacité mais la correspondance joue un grand rôle dans le climat de la classe, elle renforce la cohésion, elle rend possible un certain travail coopératif malgré le découpage horaire de l'emploi du temps. Quinze jours après la rentrée, nous avons expédié notre premier envoi: il fallait se mettre d'accord sur son contenu, répartir les tâches, préciser ensemble ce que deux camarades allaient écrire dans notre lettre. Pour ce colis, nous avions décidé d'apporter le plus de renseignements sur nous, notre établissement, notre canton, etc. ”.

Par ailleurs, l'intérêt pour cette pratique peut être sous-estimé, à en juger par ma propre expérience en classe de 2AB2 en ce mois de janvier 1980 :

“Je reçois une lettre d'un collègue de Bordeaux (Alain Duroux), me faisant part de la volonté d'établir une correspondance entre sa classe de 2C et une autre classe.

J'expose cette demande à ma classe de 2AB2. a Surprise ! Cela soulève l'enthousiasme ! (je ne le pensais pas a priori).
Le lendemain, nous consacrons une partie de l'heure à la correspondance. Du moins pour ceux qui souhaitent y participer (plus de la moitié). Evidemment, c'est là que surgissent les premières difficultés : qu'allons-nous écrire ?
Parler de math, ce n'est pas drôle ! Un élève propose une lettre d'introduction qui est lue et acceptée. Puis peu à peu, soit individuellement, soit par groupe de deux ou trois, les lettres s'élaborent. Si l'idée de correspondre est séduisante, il n'en est pas moins vrai, qu'il y a des obstacles à franchir .

Chacun s'en sort comme il peut. Aussi cette première vague de lettres, est-elle constituée de lettres de présentations, plus ou moins humoristiques, plus ou moins grossières. J'accepte car je pense que le déblocage est à ce prix. Nous verrons ensuite l'évolution d'ici la fin de l'année.”.

Pour terminer ce dossier, voici deux témoignages qui replaceront notre pratique un peu dans la globalité. Le premier concerne ce qui peut être réalisé... même en 2e C (qui est considérée comme un bastion imprenable). Le second apporte les observations d'un collègue de philo qui fréquentait ma classe de 2T1 (75-76), (interviewé par un collègue de math). Cette interview permettra la transition avec le dernier point: les limites, les obstacles... etc.

• BILAN D'UNE TENTATIVE DE PEDAGOGIE FREINET EN MATHEMATIQUES DANS UNE CLASSE DE 2e C DE 40 ELEVES...

A. Les activités

Au départ j'ai présenté aux élèves différentes activités possibles :

1. La recherche libre à partir de pistes glanées à droite, à gauche dans les livres types A.P.M. (mathématique vivante en classe de 2e) ou livres de “jeux mathématiques” puisque au deuxième cycle il n'existe pas, pour le moment, de livrets P.R.M.

2) Des exposés préparés par des groupes d'élèves pour élargir un peu le cours de mathématiques. Il y a une nette dominante pour les sujets “Histoire des mathématiciens” pas toujours très passionnants et faisant trop souvent appel à des notions de maths inaccessibles pour des élèves de 2e.

Actuellement nous nous orientons vers l'histoire des techniques mathématiques : calcul mental, numérations anciennes, machine à compter, informatique, histoire du nombre Pl... ces exposés ont à peu près un rythme de un toutes les trois semaines.

3) L'autocorrection à partir des livrets de la C.E.L. bien que là aussi il n'existe qu'un seul livret au niveau de seconde (sur les équations et inéquations} et en début d'année quelques livrets de révision de notion de 3e. Il faut donc élaborer des fiches autocorrectives. Pour celà un groupe d'élèves fait les exercices du livre correspondant à un certain sujet. Je contrôle leur travail, ils font un stencil et distribuent le polycop aux élèves.

4) Utilisation des calculatrices: le lycée possède une quarantaine de calculatrices scientifiques et une douzaine de calculatrices programmables. Les élèves apprennent à se servir de ces machines à partir de fiches d'emploi que j'ai élaborées et qui sont à leur disposition quand ils ont un problème. Cette utilisation entre dans le cadre de la recherche et de l'autocorrection. Très rapidement la calculatrice est devenue un instrument courant ne nécessitant pas d'activités spécifiques.

B. L'organisation

Face à la multiplicité de ces activités les débuts ont été quelques peu anarchiques, mais les élèves ont très vite admis que des groupes différents pouvaient avoir des activités différentes au même moment. Cependant la nécessité de périodes collectives a été ressentie.

Les élèves ont compris qu'il était indispensable d'organiser le travail. Nous avons convenu d'une réunion d'organisation et de bilan toutes les trois semaines pendant laquelle seraient discutés les problèmes de la classe, et serait élaboré le planning des trois semaines à venir. Cette séance est organisée par un groupe d'élèves (différent -à chaque fois) qui dans la semaine précédant la réunion fait circuler une feuille pour que chacun note les problèmes qui se posent.

La classe a retenu plusieurs types de séquences :

- Séquence ateliers (la plus importante) c'est pendant cette séquence que se font les recherches, l'autocorrection, la préparation des exposés,

- Séquence exposé (voir plus haut),

- Séquence bilan de recherches. Beaucoup d'élèves se sont plaints d'une trop grande dispersion des recherches, trop souvent commencées, rarement menées à terme ou sinon “enterrées” par leurs auteurs, d'où la nécessité de cette séquence où les travaux terminés sont exposés ou signalés avec invitation à se reporter au classeur où sont rédigées les recherches. Les travaux en cours sont exposés pour être débloqués ou pour que les élèves intéressés puissent se joindre au groupe.

- Séquence cours : c'est l'une des concessions au système. Les élèves préfèrent que ces cours se déroulent pendant les heures où la classe est dédoublée ce qui peut paraître paradoxal, mais qui permet aux élèves de mieux participer.
Dans la mesure du possible ces cours se réfèrent à des recherches passées et en suscitent des nouvelles. Ils sont le plus succincts possible. Je les fais dans l'optique : conception de nouveaux outils pour l'activité mathématique.

- Séquences exercices. Pendant les ateliers, certains élèves font de l'autocorrection mais pas tous et souvent sur des points de révision dans des domaines où ils ne se sentent pas très sûrs. Il a donc paru nécessaire de prévoir des séances collectives d'exercices (toujours en autocorrection) sur le cours du moment (surtout avant les devoirs surveillés! ).

- Séquence devoirs surveillés. C'est l'autre concession au système. Il s'agit d'une interrogation classique où j'essaie cependant de ménager une partie application immédiate du cours, une partie utilisation des notions du cours dans certaines situations, une partie enfin faisant appel au raisonnement.

Exemple de planning :

	2 h eures	1 heure dédoublée	2 heures
semaine 1	correction D.S. bilan recherches	cours sur les fonctions	ateliers
semaine 2	exposé sur le calcul mental	cours sur les fonctions	exercices
semaine 3	D.S.	cours sur les fonctions	ateliers

c. Premier bilan

Tout ce qui précède ne se passe pas toujours sans problèmes ! Le premier semble être celui de l'organisation.
Les élèves ont beaucoup de mal à élaborer un plan de travail et à s'y tenir. Ils se reposent encore beaucoup sur moi. Je n'ai pas réussi à impulser une correspondance avec une autre classe ou un journal scolaire, ce qui pourrait les obliger à terminer un travail dans les délais fixés.

Le problème de l'évaluation se pose aussi avec acuité.

L'environnement (administration, collègues...) et le statut des maths en 2e C font que je suis pratiquement obligé d'avoir une

moyenne générale se situant aux alentours de dix.

Certains élèves récoltent donc de mauvaises notes dont je sais combien elles peuvent être traumatisantes. Bien que je ne pense pas qu'il existe un bon système de notation, je vais essayer de trouver quelque chose de plus satisfaisant. Ce quiest positif c'est que ces interrogations n'empêchent pas les élèves d'avoir d'autres activités que l'autocorrection transformée en bachotage. Ils consacrent toujours autant de temps aux recherches.

Pour ces recherches le problème des pistes est difficile. Je regrette que les élèves ne sortent pas du cadre scolaire et ne cherchent pas des sujets de recherche dans la vie quotidienne. Une seule tentative a été faite pour une recherche sur les tarifs de l'électricité.

Malgré tout, les élèves apprennent à se débrouiller, à s'organiser, à faire vivre le groupe classe. Ils ont moins la vision de la mathématique science exacte avec ses lois et ses interdits mais au contraire celle d'une science expérimentale avec ses tâtonnements, ses différentes méthodes de résolution d'un problème.

UNE EXPERIENCE EN CLASSE DE 2T1 DE PROF-ELEVE

Guy ARGOUD, professeur agrégé de philosophie ( 2e année d'enseignement).

Patrick ESTEZET, professeur de mathématiques ( interviewer).

Patrick: Au deuxième et troisième trimestre, à raison de deux heures par semaine tu as assité au cours de Jean-Claude : est-ce que tu peux nous dire ce qu'il y a de changé par rapport à ce que tu as connu lorsque tu étais élève ?

Guy: Je ne sais si ma réponse sera objective puisqu'avec Jean-Claude je n'avais pas les mêmes rapports qu'avec mes profs de math. Néanmoins la méthode de travail imposée dans la pédagogie “traditionnelle” est une méthode dogmatique au sens où le professeur faisait un cours et ensuite les exercices.

Avec Jean-Claude on ne part pas du cours, on part de l'exercice pour découvrir le cours. L'exercice dans la pédagogie traditionnelle servait à illustrer le cours déjà fait ; ici on part de l'exercice pour dégager le cours.

On découvre sur un cas particulier et ensuite on s'élève vers la démonstration générale. Le cours prend son origine dans la pratique. Exemple: lorsqu'on a découvert quelque chose, aussitôt Jean-Claude n'enseigne pas, voilà “ce que l'on vient de découvrir est valable pour tous les cas ou non” mais “On se pose le problème de savoir si cela est valable ou non dans tous les cas et on fait une recherche en commun”. C'est à peine un enseignement mais plutôt une “recherche en commun”.

Patrick: Quelle perception as-tu maintenant des maths ?

Guy: Bien différente... élève, les maths m'ennuyaient... enfin je ne comprenais pas donc...

Dans le cours de Jean-Claude, je peux dire que j'ai presque tout compris. D'autre part il y a un art de faire recouper les questions qui fait que tout se tient, que je n'ai jamais vu dans le cours classique “débité en tranches”. Il montre toujours le lien entre les divers chapitres. C'est un cours qui m'a donné le goût des maths.

Patrick: A partir du cours que tu as vécu en tant que philosophe, comment vois-tu les sciences mathématiques dans le rapport avec la philosophie et les autres pratiques sociales ?

Guy: Chacun sait le rôle des maths dans la sélection et précisément la “pédagogie Freinet” essaie de limiter ce rôle.
Il faudrait \loir alors si le “travail collectif” est véritablement “collectif” et s'il ne reproduit pas le système de la compétition.

Dans ses rapports avec la philosophie: le cours m'a confirmé ce que je pensais. Il respecte la marche de la connaissance partant du “concret” pour s'élever à “l'abstrait” et retourner au “Concret”.

Patrick: Tu as vécu quelques instants de “libre recherche” ?

Guy: J'ai travaillé individuellement au milieu des élèves. Pour les élèves, à quelques exceptions près, cela m'a semblé une réussite. Pour moi, j'avais entrepris une recherche sur des “suites”...

Patrick: Tu as utilisé les “livrets autocorrectifs ” ?

Guy: Ils synthétisent le cours. Leur simplicité les rend efficaces. J'ai très bien compris le cours à partir de ces livrets. Ils supposent cependant un entraînement à la “libre recherche” il ne faut pas aller voir le résultat d'abord... il est vrai que l'on a cette tentation... Aller voir directement le résultat est justement une pratique de la pédagogie traditionnelle où l'exercice est conçu comme “souffrance” à avoir.

Patrick: As-tu perçu des rapports de type “nouveau” entre prof et élève ?

Guy: Je dirai que là les rapports étaient à la fois “nouveaux” et “traditionnels” : “Traditionnels” car devant cette réduction considérable des “interdits”, ce “libéralisme” (non péjoratif), certains en ont profité. Ils n'ont pas compris le sens de cette “liberté pédagogique”.

“Nouveaux” par la détente apportée au cours qui crée une ambiance favorable au travail et le dialogue existant entre le prof et les élèves.

5. NOS LIMITES. NOS COMPROMIS.

De cela nous parlons aussi. Ce que nous faisons n'est que l'expérimentation de nos principes pédagogiques dans des conditions volontairement quotidiennes. A toutes les contraintes générales offertes par le système scolaire, très hiérarchisé, non-coopératif {voire anti-coopératif) et autoritariste, par les conditions de travail (effectifs, emploi du temps... etc.) s'ajoutent celles dues à la spécificité de la matière.

Chacun de nous est parfaitement conscient des compromis que nous faisons en nous efforçant de “suivre le programme” ou de répondre à “la notation”, (même si nous la relativisons le plus possible pour la démystifier aux yeux des élèves). Nous sommes aussi conscients du peu d'impact que le changement d'organisation dans la classe a sur l'idéologie dominante des mathématiques et leur rôle sélectif. Tout au plus armons-nous peut-être davantage nos élèves face à cette épreuve. En mathématiques comme ailleurs, nous ne saurions faire du pédagogisme. Cependant nous savons aussi évaluer la différence entre le “compromis” et la “compromission”. A nous aussi, nous reconnaissons le droit au tâtonnement expérimental et le droit à l'erreur , nécessaires à la construction scientifique de notre pédagogie.

Nous aussi, nous frappons du poing sur le bureau lorsque nous finissons par être las du bruit qui résulte de toute attitude de recherche ou de confrontation d'un groupe humain. Comment pourrions-nous échapper à cela lorsqu'on
met plus de 30 personnes dans une salle plus petite qu'un F3 et que les conditions de sonorisation sont absolument déplorables ?

Toutefois, ces obstacles ne nous empêchent pas de chercher .